قاعده زنجیره‌ای

در حسابان، قاعده زنجیره‌ای رابطه‌ای برای یافتن مشتق ترکیب دو تابع است.

نمودار مشتقی برای توابع های زنجیزه ای

به‌طور شهودی، اگر متغیر y تابع متغیر دومی به نام $u$ باشد، و $u$ نیز خود تابع متغیر سوم $x$ باشد، آن‌گاه آهنگ تغییر $y$ نسبت به $x$ برابر است با آهنگ تغییر $y$ نسبت به $u$ ضرب در آهنگ تغییر $u$ نسبت به $x$. به زبان ریاضی:

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u}}\cdot {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}.$

اثبات

با استفاده از بی‌نهایت‌کوچک‌ها

برای اثبات قاعده‌ی زنجیره‌ای با استفاده از بی‌نهایت‌کوچک‌ها، ابتدا $y=f(x)$ و $x=g(t)$ را در نظر گرفته، و سپس با انتخاب بی‌نهایت کوچک $\Delta t\not =0$، $\Delta x=g(t+\Delta t)-g(t)$ و بصورت متقابل، $\Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)$ را محاسبه می‌کنیم. داریم:

$${\frac {\Delta y}{\Delta t}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}\cdot {\frac {\Delta x}{\Delta t}}$$

و سپس با اعمال جزء استاندارد به رابطه‌ی پایین، یعنی همان قاعده‌ی زنجیره‌ای، دست می‌یابیم.

$${\frac {dy}{dt}}={\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}$$

مثال‌ها

اگر تابع $g(x)$‎ در نقطه $x=a$ و تابع $f$ در $x=g(a)$‎ مشتق پذیر باشند آنگاه تابع $h(x)=f(g(x))$ نیز در $x=a$ مشتق پذیر است و داریم:

$h'(a)=f'(g(a)).g'(a)$

مثلاً اگر $f(x)=x^{n}\!$ که در آن $n\in Z$ باشد مشتق تابع $F(x)=(g(x))^{n}\!$ در نقاط مشتق پذیر برابر است با:

$F'(a)=n(g(a))^{n-1}g'(a)\!$

منابع

• کتاب انتگرال و دیفرانسیل دوره پیش دانشگاهی رشته علوم ریاضی (ریاضی-فیزیک) ISBN 964-05-0277-4

جستارهای وابسته

• مشتق
• مشتق ضمنی
• حساب
• تابع