باز کردن منو اصلی

قانون تقابل درجه دوم (به انگلیسی: Quadratic reciprocity)، قضیه‌ای است قدرتمند در شاخه نظریه اعداد از ریاضیات. با وجود آنکه قوانینی مشابه برای درجه سوم و بالاتر ثابت شده‌است، اما همچنان این قضیه، بسیار پرکاربرد و قدرتمند ظاهر می‌شود و استفاده از آن متوقف نگشته‌است. برای بیان این قضیه ابتدا دو تعریف ارائه می‌دهیم.

محتویات

مانده و ناماندهویرایش

  عددی اول و فرد و   عددی صحیح و نسبت به   اول است. اگر معادله همنهشتی   جواب داشته باشد، آنگاه عدد   را به پیمانه   مانده و در غیر این صورت نامانده می‌گوییم.

مثالویرایش

  •   به پیمانه   مانده‌است زیرا  
  • همه اعداد مربع کامل به پیمانه هر عددی مانده اند.

چند قضیه مرتبطویرایش

  • مانده‌های به پیمانه عدد اول   دقیقاً اعداد زیر اند

 

  • برای هر   اول، دقیقاً   مانده متمایز به هنگ   و به همین تعداد نامانده وجود دارد.

نماد لژاندرویرایش

اگر   عددی اول و فرد و   عددی صحیح باشند که   تابع لژاندر با نماد   برابر است با   اگر   در مبنای   مانده باشد و در غیر این صورت برابر است با   . به عبارت دبگر:  

مثالویرایش

در همان مثال قبل می‌توان نوشت  

محک اویلرویرایش

اگر   عددی اول و فرد و   عددی صحیح و نسبت به آن اول باشد، آنگاه داریم  

اثباتویرایش

طبق قضیه کوچک فرما می‌دانیم برای هر  داریم  . پس  

اگر   مانده باشد، برای یک   ایی داریم   و این نتیجه می‌دهد  

حال فرض کنید   ریشه اولیه   باشد، پس  ای هست که داشته باشیم  . پس  . اگر   نامانده باشد، آنگاه حتماً   فرد است و در نتیجه   بر   بخش پذیر نیست و این به دلیل ریشه اول بودن   نتیجه می‌دهد   یعنی  

قانون تقابل درجه دومویرایش

اگر   و   دو عدد اول، فرد و متمایز باشند آنگاه داریم:

 

دو پرانتز ظاهر شده در توان   نماد لژاندر نیستند.

منابعویرایش