مرکزساز و نرمال‌ساز

در ریاضیات، بخصوص در نظریه گروه‌ها، مرکزساز (همچنین به آن جابجاگر هم می گویند) یک زیر مجموعه $S$ از گروهی چون $G$، مجموعه تمام عناصر $G$ است که با هر کدام از عناصر $S$ جابجا می شود، و نرمال‌ساز یک مجموعه چون $S$ عناصری اند که در شرط ضعیف تری صدق می کنند. مرکزساز و نرمال‌ساز $S$ زیرگروه‌هایی از $G$ اند و می توانند در فهم ساختار $G$ کمک کنند.

این تعاریف به مونوئیدها و نیم‌گروه‌ها نیز قابل اعمال اند.

در نظریه حلقه‌ها، مرکزساز یک زیرمجموعه از یک حلقه بر اساس عملگر (ضربی) نیم‌گروه حلقه تعریف می شود. مرکزساز یک زیرمجموعه از یک حلقه $R$ زیر حلقه ای از $R$ است. این مقاله همچنین با مرکزسازها و نرمال‌سازهای جبر لی نیز نیز سروکار خواهد داشت.

ایده‌آل‌ساز در یک نیم‌گروه یا حلقه سازه دیگری است که از جهاتی شبیه مرکزساز و نرمال‌ساز می باشد.

تعاریف

گروه و نیم‌گروه

مرکزساز یک زیرمجموعه $S$ از یک گروه (یا نیم‌گروه) $G$ به این صورت تعریف شده است:

$\mathrm {C} _{G}(S)=\{g\in G\mid gs=sg{\text{ for all }}s\in S\}.$

مواقعی که هیچ ابهامی در مورد گروه مورد نظر در مسئله وجود نداشته باشد، حرف $G$ در نماد مرکزساز به کل حذف می شود. زمانی که $S={a}$ یک تک عضوی باشد، آنگاه $C_{G}({a})$ را می توان به صورت $C_{G}(a)$ خلاصه کرد. نماد دیگری که برای مرکزساز کمتر رایج است $Z(a)$ بوده که برای نماد مرکز گروه هم به کار می رود. کسی که از نماد اخیر برای مرکزساز استفاده می کند باید مراقب باشد تا مرکز گروه $G$ یعنی $Z(G)$ را با مرکزساز عضو $g$ در $G$ که به صورت $Z(g)$ ممکن است نوشته شود خلط نکرده و بینشان تمایز قائل شود.

نرمال‌ساز $S$ در گروه (یا نیم‌گروه) $G$ به این صورت تعریف می شود:

$\mathrm {N} _{G}(S)=\{g\in G\mid gS=Sg\}.$

تعاریف این دو مشابه اند اما یکی نیستند. اگر $g$ مرکزساز $S$ و $s$ در $S$ باشد، آنگاه ممکن است $gs=sg$ باشد اما اگر $g$ در نرمال‌ساز قرار داشته باشد آنگاه برای یک $t$ در $S$ داریم $gs=tg$ که در آن $t$ قویاً با $s$ متفاوتست. یعنی عناصر مرکزساز $S$ باید به صورت نقطه ای با $S$ جابجا شوند، اما عناصر نرمال‌ساز $S$ الزاماً تنها با $S$ به عنوان یک مجموعه جابجا می شوند. همان قرارداد در مورد حذف نماد $G$ و حذف آکولاد برای مجموعه تک عضوی در مرکزساز، برای نرمال‌ساز هم صدق می کند. نرمال‌ساز را نباید با بستار نرمال اشتباه گرفت.

یادداشت‌ها

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Centralizer and Normalizer». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۳۰ اوت ۲۰۱۹.

منابع

• Isaacs, I. Martin (2009), Algebra: a graduate course, Graduate Studies in Mathematics, vol. 100 (reprint of the 1994 original ed.), Providence, RI: American Mathematical Society, doi:10.1090/gsm/100, ISBN 978-0-8218-4799-2, MR 2472787
• Jacobson, Nathan (2009), Basic Algebra, vol. 1 (2 ed.), Dover Publications, ISBN 978-0-486-47189-1
• Jacobson, Nathan (1979), Lie Algebras (republication of the 1962 original ed.), Dover Publications, ISBN 0-486-63832-4, MR 0559927