همه اسب‌ها یک‌رنگ هستند

همۀ اسب‌ها یک‌رنگ هستند (به انگلیسی: All horses are the same color) یک قضیهٔ نادرست است که با استفاده از استقرای ریاضی تلاش دارد ثابت کند هر مجموعهٔ $n$-تایی از اسب‌ها یک‌رنگ هستند. صورت قضیه را می‌توان به این صورت بیان کرد: «به ازای هر عدد صحیح مثبت $n$، هر مجموعهٔ $n$-تایی از اسب‌ها همواره یک‌رنگ هستند.»

این مسئله را جورج پولیا طراحی کرده‌است.

برهان

گام اول

برای $n=1$ درستی بدیهی است؛ زیرا در هر مجموعهٔ یک‌اسبی همهٔ اسب‌ها با یکدیگر هم‌رنگ هستند (هر اسبی همرنگ خودش است).

گام دوم

فرض می‌کنیم در هر مجموعهٔ $n$-تایی از اسب‌ها همهٔ اسب‌ها یک‌رنگ هستند. حال یک مجموعهٔ $n+1$-تایی از اسب‌ها را در نظر می‌گیرم. یک اسب دلخواه را از مجموعه انتخاب و از آن جدا می‌کنیم، مجموعهٔ $n$ اسب باقی‌مانده بنا به فرض استقرا باید همرنگ باشند. حال اسب اول را به مجموعه برمی‌گردانیم و اسب دیگری را جدا می‌کنیم و باز هم مجموعهٔ $n$-تایی باقی‌مانده هم‌رنگ خواهند بود. نتیجه می‌گیرم که همهٔ اسب‌های مجموعهٔ $n+1$-تایی نیز یک‌رنگ هستند. به عبارت دیگر چون دو مجموعهٔ $n$-تایی اول و دوم با یکدیگر دارای اشتراک هستند؛ پس با توجه به ترایا بودن رابطهٔ همرنگی می‌توان نتیجه گرفت اسب اول و دوم با سایر اسب‌ها یک‌رنگ هستند.

اشتباه

یافتن اشتباه موجود در این برهان ساده نیست چون استدلال به‌کار رفته برای هر مجموعهٔ $n+1$-عضوی صادق است مگر حالت $n=1$، یعنی زمانی که بخواهیم ثابت کنیم یک مجموعهٔ دو-اسبی همرنگ هستند و فرض ما این باشد که هر مجموعهٔ یک‌اسبی هم‌رنگ است، که قابل اثبات نیست چون دو مجموعه با یکدیگر اشتراک نخواهند داشت و رابطهٔ ترایا ندارند. این مغالطه نشان می‌دهد که در استقرای ریاضی اثبات‌پذیر بودن گزارهٔ $n+1$ به ازای همهٔ $n$-های بزرگتر-مساویِ فرضِ اولیه دارای اهمیت است.

جستارهای وابسته

• پارادوکس
• فهرست پارادوکس‌ها

منابع

• Bauldry, William C. (2011). Introduction to Real Analysis: An Educational Approach (به انگلیسی). John Wiley & Sons. Retrieved 2013-04-21.
• Bóna, Miklós (2006). A Walk Through Combinatorics: An Introduction to Enumeration And Graph Theory (به انگلیسی). World Scientific. Retrieved 2013-04-21.
• Shick, Paul L. (2011). Topology: Point-Set and Geometric (به انگلیسی). John Wiley & Sons. Retrieved 2013-04-21.