مسئله دو جسم: تفاوت میان نسخه‌ها
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
گسترش |
گسترش |
||
خط ۹:
اگر <math>x_1</math> و <math>x_2</math> مکان دو جسم و <math>m_1</math> و <math>m_2</math> جرم آنها باشد، هدف مسأله دو جسم تعیین مسیر <math>x_1(t)</math> و <math>x_2(t)</math> با داشتن مکان اولیه <math>x_1(t=0)</math> و <math>x_2(t=0)</math> و سرعت اولیه <math>v_1(t=0)</math> و <math>v_2(t=0)</math> است.
با اعمال [[قوانین حرکت نیوتن#قانون دوم|قانون دوم نیوتن]] برای این دو جسم، روابط زیر بدست می‌آید:
{{چپ‌چین}}
:<math>
خط ۱۸:
</math>
{{پایان چپ‌چین}}
که <math>F_{12}</math> نیروی واردشده از طرف جسم ۲ به جسم ۱ و <math>F_{21}</math> نیروی واردشده از طرف جسم ۱ به جسم ۲ است. اضافه‌کردن و کم‌کردن این دو رابطه از یکدیگر، مسأله را به دو مسألهٔ تک جسم تبدیل می‌کند. اضافه‌کردن این دو رابطه، منجر به رابطه‌ای می‌شود که حرکت [[گرانیگاه|مرکز جرم]] ([[باری‌سنتر]]) را تعیین می‌کند. در مقابل، کم‌کردن رابطهٔ (۲) از رابطهٔ
=== حرکت مرکز جرم (مسألهٔ تک‌جسم نخست) ===
اضافه‌کردن دو رابطه (۱) و (۲) و استفاده از [[قوانین حرکت نیوتن#قانون سوم|قانون سوم نیوتن]] (<math>F_{12}= - F_{21}</math>) نتیجه می‌دهد:
{{چپ‌چین}}
:<math>
m_{1}\ddot{\mathbf{x}}_1 + m_2 \ddot{\mathbf{x}}_2 = (m_1 + m_2)\ddot{\mathbf{R}} = \mathbf{F}_{12} + \mathbf{F}_{21} = 0
</math>
{{پایان چپ‌چین}}
که <math>R</math> بردار مکان [[گرانیگاه|مرکز جرم]] سامانه دو جرم بوده و از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:
{{چپ‌چین}}
:<math>
\ddot{\mathbf{R}} \equiv \frac{m_{1}\ddot{\mathbf{x}}_{1} + m_{2}\ddot{\mathbf{x}}_{2}}{m_{1} + m_{2}}
</math>
{{پایان چپ‌چین}}
بنابراین رابطهٔ زیر بدست می‌آید:
{{چپ‌چین}}
:<math>
\ddot{\mathbf{R}} = 0
</math>
{{پایان چپ‌چین}}
که نشان می‌دهد که سرعت مرکز جرم (و در نتیجه [[تکانه]] کل) ثابت می‌ماند ([[تکانه#قانون پایستگی تکانهٔ خطی|قانون پایستگی تکانه]]). بنابراین با داشتن مکان‌ها و سرعت‌های اولیه، مکان مرکز جرم (<math>R(t)</math>) را می‌توان در هر لحظه تعیین کرد.
=== حرکت بردار جابجایی (مسألهٔ تک‌جسم دوم) ===
با تقسیم هر رابطه بر جرم متناظر و کم‌کردن رابطهٔ دوم از اول، رابطهٔ زیر بدست می‌آید:
{{چپ‌چین}}
:<math>
\ddot {\mathbf{r}} = \ddot{\mathbf{x}}_{1} - \ddot{\mathbf{x}}_{2} =
\left(\frac{\mathbf{F}_{12}}{m_{1}} - \frac{\mathbf{F}_{21}}{m_{2}} \right) =
\left(\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}} \right)\mathbf{F}_{12}
</math>
{{پایان چپ‌چین}}
که <math>r</math> [[بردار جابجایی]] از جرم 2 به جرم 1 است.
نیروی بین دو جسم باید تنها تابع مکان نسبی آنها (<math>r</math>) بوده و نمی‌تواند تابع مکان مطلق آنها (<math>x_1</math>و <math>x_2</math>) باشد؛ زیرا در غیر این صورت، قوانین فیزیک از مکانی به مکان دیگر تغییر می‌کرد.
این رابطه می‌تواند به صورت زیر بازنویسی شود:
{{چپ‌چین}}
:<math>
\mu \ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{F}_{12}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = \mathbf{F}(\mathbf{r})
</math>
{{پایان چپ‌چین}}
که <math>\mu</math> [[جرم کاهش‌یافته]] نامیده می‌شود:
{{چپ‌چین}}
:<math>
\mu = \frac{1}{\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_{2}}} = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}
</math>
{{پایان چپ‌چین}}
با توجه به تعریف <math>R</math> و <math>r</math>، روابط زیر را می‌توان برای بردار مکان دو جسم نوشت:
{{چپ‌چین}}
:<math>
\mathbf{x}_1(t) =
\mathbf{R} (t) + \frac{m_2}{m_1 + m_2} \mathbf{r}(t)
</math>
:<math>
\mathbf{x}_2(t) =
\mathbf{R} (t) - \frac{m_{1}}{m_1 + m_2} \mathbf{r}(t)
</math>
{{پایان چپ‌چین}}
== پانویس ==
| |||