در ریاضیات، '''قضیه''' ، یادر تئوری،گزارهریاضیات، ایگزاره‌ای است که بر پایه گزاره هایگزاره‌های پیشین مثل سایر قضایا یا تئوریتئوری‌ها، ها،گزاره هاییگزاره‌هایی که به صورت کلی و عام پذیرفته شده اندشده‌اند مثل "«اصل موضوع "» ،اثبات شده است. اثبات قضیه ریاضی،استدلالیریاضی، استدلالی منطقی برای گزاره مطرح شده در قضیه است که در توافق با قوانین موجود در روش (سیستم) استقرایی،میاستقرایی، باشدمی‌باشد. ▼==قضیه==
▲در ریاضیات، '''قضیه''' یا تئوری،گزاره ای است که بر پایه گزاره های پیشین مثل سایر قضایا یا تئوری ها،گزاره هایی که به صورت کلی و عام پذیرفته شده اند مثل "اصل موضوع"،اثبات شده است. اثبات قضیه ریاضی،استدلالی منطقی برای گزاره مطرح شده در قضیه است که در توافق با قوانین موجود در روش (سیستم) استقرایی،می باشد.
اثبات تئوری اغلب برای توجیه درستی گزاره قضیه تفسیر و مطرح می شوند.با توجه به اثبات قضایای ریاضی بر اساس نیاز،مفهوم و تصور کلی یک قضیه ریاضی اساساً استقرایی است که در تضاد با مفهوم یک نظریه (قضیه) علمی - که بر اساس تجربه و آزمایش است -،میباشد. ▼بسیاری از قضایای ریاضی گزاره های شرطی هستند.در این مورد،اثبات از نتیجه گرفته شده از فرض قضیه استنباط می شود.با توجه به تعبیر و تفسیر اثبات به عنوان توجیه یک درستی،استنتاج اغلب به منظور نتیجه لازم و ضروری فرض قضیه دیده می شود.به عبارت دیگر،استنتاج با توجه به فرضیاتی که درست هستند،بدون هیچ فرض اضافه تر،صحیح می باشد.به هر حال،گزاره های شرطی با توجه به مفاهیمی که به قوانین استنتاج و نمادهای شرطی اختصاص داده شده اند، می توانند به طور متفاوت در روش (سیستم) استقرایی تفسیر و مطرح شوند. ▼
▲اثبات تئوری اغلب برای توجیه درستی گزاره قضیه تفسیر و مطرح می شوندمی‌شوند. با توجه به اثبات قضایای ریاضی بر اساس نیاز،مفهومنیاز، مفهوم و تصور کلی یک قضیه ریاضی اساساً استقرایی است که در تضاد با مفهوم یک نظریه (قضیه) علمی - که بر اساس تجربه و آزمایش است - ،میباشد.، میباشد.
اگر چه آن ها می توانند به صورت کاملا نمادین نوشته شوند ، برای مثال در حساب گزاره ای قضایا اغلب در زبان طبیعی مانند انگلیسی بیان می شوند. همان اثبات درست است که به عنوان منطقی سازماندهی شده و استدلالی رسمی نوشته شده ، قصد دارد که خواننده را بر درستی گزاره فارق از هرگونه شکی متقاعد کند. این استدلال ها برای بررسی معمولا آسان تر است نسبت به آن هایی که کاملا نمادین هستند. در واقع بسیاری از ریاضیدانان که صورتی از اثبات را بیان کردند که نه تنها درستی قضیه را بیان می کند بلکه به گونه ای توضیح می دهد که چرا قضیه صحیح می باشد. در بعضی حالات یک تصویر می تواند برای اثبات یک قضیه کافی باشد. از آنجاییکه قضایا در هسته ریاضیات گنجانده شده اند ، آن ها مرکز زیبایی ریاضیات نیز شناخته می شوند . قضایا اغلب با کلماتی از جمله "بدیهی" ، "دشوار "، "عمیق" ، یا حتی "زیبا" توصیف می شود. این قضاوت های ذهنی نه تنها از شخصی به شخصی دیگر بلکه در زمان های مختلف نیز تفاوت دارد. برای مثال چنانچه یک اثبات ساده شده باشد یا قابل فهم شده باشد یک قضیه که زمانی دشوار تلقی می شد ممکن است به یک قضیه بدیهی تبدیل شود. از سوی دیگر، یک قضیه عمیق ممکن است به سادگی بیان شود، اما اثبات آن ممکن است اتصال شگفت انگیز و ظریف بین مناطق مختلف ریاضیات را شامل شود. آخرین قضیه فرما مثال خوبی برای این گونه از قضایاست. ▼
▲بسیاری از قضایای ریاضی گزاره هایگزاره‌های شرطی هستند. در این مورد،اثباتمورد، اثبات از نتیجه گرفته شده از فرض قضیه استنباط می شودمی‌شود. با توجه به تعبیر و تفسیر اثبات به عنوان توجیه یک درستی،استنتاجدرستی، استنتاج اغلب به منظور نتیجه لازم و ضروری فرض قضیه دیده می شودمی‌شود. به عبارت دیگر،استنتاجدیگر، استنتاج با توجه به فرضیاتی که درست هستند،بدونهستند، بدون هیچ فرض اضافه تر،صحیحتر، میصحیح باشدمی‌باشد. به هر حال،گزارهحال، هایگزاره‌های شرطی با توجه به مفاهیمی که به قوانین استنتاج و نمادهای شرطی اختصاص داده شده اند، میشده‌اند، توانندمی‌توانند به طور متفاوت در روش (سیستم) استقرایی تفسیر و مطرح شوند.
بطور منطقی بسیاری از تئوری ها به صورت مشروط نشان داده می شوند : اگر آ آنگاه ب. ▼ب را اثبات نمی کند مگر ب نتیجه لازم برای آ باشد. در این حالت آ را فرضیه و ب را نتیجه می نامند. این قضیه ▼یک قضیه باید با صراحت بیان شود تا به عنوان یک گزاره رسمی شناخته شود. با این وجود، نظریه ها معمولا در زبان طبیعی، و نه در یک فرم کاملا نمادین بیان می شود، با این هدف که خواننده می تواند یک گزاره رسمی تولید کند. ▼این در ریاضیات متداول است که تعدادی از فرضیه ها را در یک زبان داده شده انتخاب کنند و اعلام کنند که این نظریه شامل تمام اظهارات قابل اثبات از این فرضیه ها می باشد. این فرضیه ها اساس بنیادین قضایا را تشکیل می دهد که اصل موضوع نامیده می شود. رشته ریاضیات به عنوان مطالعات تئوری اثبات زبان رسمی ، اصول موضوع و ساختار اثبات ها است. ▼بعضی قضایا بدیهی هستند به این معنا که به طور واضحی از تعاریف ، اصول موضوع و سایر قضایا نتیجه گیری شده اند و نکته شگفت آوری را شامل نمی شوند. از سویی دیگر بعضی از قضایا عمیق اند زیرا ممکن است اثبات آن ها طولانی یا دشوار باشد و یا این که شامل زمینه های مختلف ریاضیات می باشد و ارتباط شگفت آوری را بین زمینه های متمایز ریاضیات را مشخص کند. همچنین یک قضیه ساده در عین حال می تواند عمیق و پیچیده باشد. قضیه آخر فرما مثال خوبی برای این گونه قضایاست. و بسیاری از نمونه های دیگر از قضایای عمیق ساده در نظریه اعداد و ترکیبیات وجود دارد. ▼برخی قضایا اثبات های شناخته شده ای دارند که به راحتی قابل پیاده سازی نیست. برجسته ترین نمونه قضیه چهار رنگ و حدس کپلر است. هر دو قضیه طی یک جستجوی محاسباتی که بعد ها توسط یک برنامه کامپیوتری تایید شد اثبات شده اند. در ابتدا، بسیاری از ریاضیدانان این شکل از اثبات را قبول نمی کردند، اما به طور گسترده ای پذیرفته می شدند. ریاضیدان Doron Zeilberger حتی اظهار داشت که این نوع از اثبات ، اثباتی باطل است. ▼بسیاری از قضایای ریاضی را می توان به محاسبات ساده تر کاهش داد ، از جمله چند جمله ای، مثلثاتی و هویت فوق هندسی. ▼==اثبات پذیری و قضیه هود== ▼برای انتشار یک گزاره ریاضی به عنوان قضیه،اثبات لازم است،یعنی یک خط از دلایل با توجه به اصل موضوعه در سیستم(و سایر ، قضایای تقریبا انتشار یافته) باید برای گزاره داده شده نشان داده بشود.هر چند،اثبات تقریبا جدا از گزاره قضیه به حساب می آید. اگر چه بیش از یک اثبات ممکن است برای یک قضیه وجود داشته باشد اما یک اثبات لازم است که وضعیت گزاره به عنوان قضیه را انتشار بدهد. نظریه فیثاغورث و قانون معادله درجه دوم با تعداد بسیاری از اثبات ها می توانند عنوان قضیه را به خود بگیرند. ▼==رابطه با نظریه های علمی== ▼قضایا در ریاضی و نظریات در علوم اساسا از نظر معرفت شناسی متفاوت هستند. یک نظریه علمی نمی تواند اثبات شود؛ صفت کلیدی آن ابطال است؛یعنی پیش بینی هایی درباره جهان طبیعی می کند که با آزمایش ها قابل آزمایش است.هرگونه عدم توافق بین پیش بینی و آزمایش،نادرستی نظریه علمی و یا حداقل محدود بودن دقت و دامنه اعتبار آن را نشان می دهد. قضایای ریاضی،به عبارتی دیگر،به طور محض چکیده ای از گزاره های صوری هستند: اثبات یک قضیه نمی تواند شامل آزمایش و سایر سندهای تجربی به همان صورت که برای اثبات نظریه های علمی به کار می رود،باشد. ▼
▲اگر چه آنآن‌ها ها می توانندمی‌توانند به صورت کاملا نمادین نوشته شوند ،شوند، برای مثال در حساب گزاره ایگزاره‌ای قضایا اغلب در زبان طبیعی مانند انگلیسی بیان می شوندمی‌شوند. همان اثبات درست است که به عنوان منطقی سازماندهی شده و استدلالی رسمی نوشته شده ،شده، قصد دارد که خواننده را بر درستی گزاره فارق از هرگونه شکی متقاعد کند. این استدلال هااستدلال‌ها برای بررسی معمولا آسان تر است نسبت به آن هاییآن‌هایی که کاملا نمادین هستند. در واقع بسیاری از ریاضیدانان که صورتی از اثبات را بیان کردند که نه تنها درستی قضیه را بیان می کندمی‌کند بلکه به گونه ایگونه‌ای توضیح می دهدمی‌دهد که چرا قضیه صحیح می باشدمی‌باشد. در بعضی حالات یک تصویر می تواندمی‌تواند برای اثبات یک قضیه کافی باشد. از آنجاییکه قضایا در هسته ریاضیات گنجانده شده اند ، آنشده‌اند، هاآن‌ها مرکز زیبایی ریاضیات نیز شناخته می شوند . قضایا اغلب با کلماتی از جمله "بدیهی" ، "دشوار "، "عمیق" ، یا حتی " زیبا"زیباً توصیف می شودمی‌شود. این قضاوت هایقضاوت‌های ذهنی نه تنها از شخصی به شخصی دیگر بلکه در زمان هایزمان‌های مختلف نیز تفاوت دارد. برای مثال چنانچه یک اثبات ساده شده باشد یا قابل فهم شده باشد یک قضیه که زمانی دشوار تلقی می شدمی‌شد ممکن است به یک قضیه بدیهی تبدیل شود. از سوی دیگر، یک قضیه عمیق ممکن است به سادگی بیان شود، اما اثبات آن ممکن است اتصال شگفت انگیز و ظریف بین مناطق مختلف ریاضیات را شامل شود. آخرین قضیه فرما مثال خوبی برای این گونه از قضایاست.
با این حال،درجه هایی از تجربه گرایی و جمع آوری داده هایی که در کشف قضیه های ریاضی شرکت داشتند،وجود دارند.با انتشار یک الگو،بعضی مواقع با استفاده از کامپیوتر قدرتمند،ریاضیدان ها ممکن است ایده ای از آنچه می خواهند اثبات کنند، و در بعضی موارد،برنامه ریزی برای چگونگی راه در مورد آنچه می خواهند اثبات کنند داشته باشند.برای مثال،حدس کلتز برای شروع اعداد تا حدود 2.88 *1018 تایید شده است. فرضیه ریمن برای 10 تریلیون صفر تابع زتا تایید شده است. هیچ یک از این گزاره ها اثبات شده به حساب نمی آیند. ▼
چنین شواهدی اثبات را تشکیل نمی دهند.برای مثال،حدس مرتنز گزاره ای است درباره اعداد طبیعی که الان می دانیم غلط است اما هیچ مثال نقضی شناخته نشده است (عدد طبیعی n برای تابع M(n) که برابر ریشه دوم n است).تمام اعداد کمتر از 1014 خاصیت مرتنز را دارند و کوچکترین عددی که این خاصیت را ندارد تنها معلوم است که از تابع نمایی عدد 1.59x1040 که تقریبا برابر 10 به توان 4.3*1039 کمتر می باشد. چون تعداد ذرات در جهان به طور کل کمتر از 10 به توان 100 به حساب می آیند،امیدی نیست که یک مثال نقض با جستجوهای خسته کننده پیدا بشود. ▼در نظر داشته باشید که کلمه '''نظریه'''در ریاضیات نیز وجود دارد؛برای معنی کردن اصل موضوع ریاضیات،تعاریف و قضایا مثلا در قضیه گروه.چندین قضیه در علوم به ویژه فیزیک و در مهندسی وجود دارد اما انها اغلب گزاره ها و اثبات هایی دارند که در فرضیات فیزیکی و شهود نقش مهمی ایفا می کند؛قاعده کلی فیزیکی برای چنین قضایایی بر این پایه هست که خودشان باطل هستند. ▼▲بطور منطقی بسیاری از تئوری هاتئوری‌ها به صورت مشروط نشان داده می شوند می‌شوند: اگر آ آنگاه ب.
▲ب را اثبات نمی کندنمی‌کند مگر ب نتیجه لازم برای آ باشد. در این حالت آ را فرضیه و ب را نتیجه می نامندمی‌نامند. این قضیه
تعدادی از واژه های مختلف برای عبارات ریاضی وجود دارد که این واژه ها گزاره ها را بیان می کنند. استفاده از بعضی لغات ممکن است به صورت قرار دادی باشد و گاهی معانی لغات تکامل می یابد. ▼▲یک قضیه باید با صراحت بیان شود تا به عنوان یک گزاره رسمی شناخته شود. با این وجود، نظریه هانظریه‌ها معمولا در زبان طبیعی، و نه در یک فرم کاملا نمادین بیان می شود،می‌شود، با این هدف که خواننده می تواندمی‌تواند یک گزاره رسمی تولید کند.
'''اصل''' یا اصل موضوع گزاره ای است که بدون اثبات پذیرفته می شود و به عنوان اساسی برای موضوع است. از لحاظ تاریخی این به عنوان "بدیهی" در نظر گرفته شده است ، اما اخیرا آن ها فرضی در نظر گرفته می شوند که موضوع مطالعه را مشخص می کند. در هندسه کلاسیک، اصول موضوعه بیانیه های عمومی هستند در حالی که اصول موضوعه اظهاراتی در مورد اشیاء هندسی می باشد. ▼▲این در ریاضیات متداول است که تعدادی از فرضیه هافرضیه‌ها را در یک زبان داده شده انتخاب کنند و اعلام کنند که این نظریه شامل تمام اظهارات قابل اثبات از این فرضیهفرضیه‌ها ها می باشدمی‌باشد. این فرضیه هافرضیه‌ها اساس بنیادین قضایا را تشکیل می دهدمی‌دهد که اصل موضوع نامیده می شودمی‌شود. رشته ریاضیات به عنوان مطالعات تئوری اثبات زبان رسمی ،رسمی، اصول موضوع و ساختار اثبات هااثبات‌ها است.
'''گزاره'''(پیشنهاد ) یک اصطلاح عمومی است برای قضایایی که از اهمیت کمتری برخوردارند. این واژه گاهی اوقات یک بیانیه متضمن با یک اثبات ساده است در حالی که واژه قضیه هنگامی استفاده می شود که نتیجه مهم یا اثبات دشوارتری در کار باشد. ▼▲بعضی قضایا بدیهی هستند به این معنا که به طور واضحی از تعاریف ،تعاریف، اصول موضوع و سایر قضایا نتیجهنتیجه‌گیری گیری شده اندشده‌اند و نکته شگفت آوری را شامل نمی شوندنمی‌شوند. از سویی دیگر بعضی از قضایا عمیق اند زیرا ممکن است اثبات آن هاآن‌ها طولانی یا دشوار باشد و یا این که شامل زمینه هایزمینه‌های مختلف ریاضیات می باشدمی‌باشد و ارتباط شگفت آوری را بین زمینه هایزمینه‌های متمایز ریاضیات را مشخص کند. همچنین یک قضیه ساده در عین حال می تواندمی‌تواند عمیق و پیچیده باشد. قضیه آخر فرما مثال خوبی برای این گونه قضایاست.قضایاست؛ و بسیاری از نمونه هاینمونه‌های دیگر از قضایای عمیق ساده در نظریه اعداد و ترکیبیات وجود دارد.
'''لم''' یک کمک قضیه است. یک گزاره با کاربرد کمی که بخشی از یک اثبات طولانی را تشکیل می دهد. در برخی موارد که اهمیت نسبی بعضی قضایا روشن شد و گزاره ای که در گذشته لم نامیده می شد قضیه نام گرفت اما واژه لم هم چنان باقی ماند. ▼▲برخی قضایا اثبات هایاثبات‌های شناخته شده ایشده‌ای دارند که به راحتی قابل پیاده سازیپیاده‌سازی نیست. برجسته ترین نمونه قضیه چهار رنگ و حدس کپلر است. هر دو قضیه طی یک جستجوی محاسباتی که بعد هابعدها توسط یک برنامه کامپیوتری تایید شد اثبات شده اندشده‌اند. در ابتدا، بسیاری از ریاضیدانان این شکل از اثبات را قبول نمی کردند،نمی‌کردند، اما به طور گسترده ایگسترده‌ای پذیرفته می شدندمی‌شدند. ریاضیدان Doron Zeilberger حتی اظهار داشت که این نوع از اثبات ،اثبات، اثباتی باطل است.
'''نتیجه فرعی''' یا استنباط گزاره ای است بدون اثبات یا با اثباتی کم که از قضیه دیگر یا یک تعریف نتیجه گیری شده است. ▼▲بسیاری از قضایای ریاضی را می توانمی‌توان به محاسبات ساده ترساده‌تر کاهش داد ،داد، از جمله چند جمله ای،جمله‌ای، مثلثاتی و هویت فوق هندسی.
'''عکس قضیه''' گزاره ای است که با معکوس کردن یک قضیه و اثبات آن بدست می آید. ▼
همچنین لغاتی وجود دارند که کمتر استفاده می شوند که به طور معمول به اظهارات اثبات شده متصل اند: ▼▲== اثبات پذیری و قضیه هود ==
'''تطابق'''، که برای قضایایی که برای بیان برابری دو عبارت ریاضی است مورد استفاده قرار می گیرد. ▼▲برای انتشار یک گزاره ریاضی به عنوان قضیه،اثباتقضیه، اثبات لازم است،یعنیاست، یعنی یک خط از دلایل با توجه به اصل موضوعه در سیستم (و سایر ،سایر، قضایای تقریبا انتشار یافته) باید برای گزاره داده شده نشان داده بشود. هر چند،اثباتچند، اثبات تقریبا جدا از گزاره قضیه به حساب می آیدمی‌آید. اگر چه بیش از یک اثبات ممکن است برای یک قضیه وجود داشته باشد اما یک اثبات لازم است که وضعیت گزاره به عنوان قضیه را انتشار بدهد. نظریه فیثاغورث و قانون معادله درجه دوم با تعداد بسیاری از اثباتاثبات‌ها ها می توانندمی‌توانند عنوان قضیه را به خود بگیرند.
'''حکم''' که برای قضایایی که با فرمول منتشر می شود مورد استفاده قرار می گیرد. ▼
و هم چنین کلماتی دیگر از جمله '''قانون''' و''' قاعده''' و ...
▲== رابطه با نظریه هاینظریه‌های علمی ==
==ترتیب و طرح بندی (مراحل)== ▼▲قضایا در ریاضی و نظریات در علوم اساسا از نظر معرفت شناسیمعرفت‌شناسی متفاوت هستند. یک نظریه علمی نمی تواندنمی‌تواند اثبات شود؛ صفت کلیدی آن ابطال است؛یعنیاست؛ یعنی پیش بینی هاییبینی‌هایی درباره جهان طبیعی می کندمی‌کند که با آزمایش هاآزمایش‌ها قابل آزمایش است. هرگونه عدم توافق بین پیش بینی و آزمایش،نادرستیآزمایش، نادرستی نظریه علمی و یا حداقل محدود بودن دقت و دامنه اعتبار آن را نشان می دهدمی‌دهد. قضایای ریاضی،بهریاضی، به عبارتی دیگر،بهدیگر، به طور محض چکیده ایچکیده‌ای از گزاره هایگزاره‌های صوری هستند: اثبات یک قضیه نمی تواندنمی‌تواند شامل آزمایش و سایر سندهای تجربی به همان صورت که برای اثبات نظریه هاینظریه‌های علمی به کار میمی‌رود، رود،باشدباشد.
▲با این حال،درجهحال، هاییدرجه‌هایی از تجربه گرایی و جمعجمع‌آوری آوری داده هاییداده‌هایی که در کشف قضیه هایقضیه‌های ریاضی شرکت داشتند،وجودداشتند، وجود دارند. با انتشار یک الگو،بعضیالگو، بعضی مواقع با استفاده از کامپیوتر قدرتمند،ریاضیدانقدرتمند، هاریاضیدان‌ها ممکن است ایده ایایده‌ای از آنچه می خواهندمی‌خواهند اثبات کنند، و در بعضی موارد،برنامهموارد، برنامه ریزی برای چگونگی راه در مورد آنچه می خواهندمی‌خواهند اثبات کنند داشته باشند. برای مثال،حدسمثال، حدس کلتز برای شروع اعداد تا حدود 2.88۲٫۸۸ * 1018۱۰۱۸ تایید شده است. فرضیه ریمن برای 10۱۰ تریلیون صفر تابع زتا تایید شده است. هیچ یکهیچ‌یک از این گزاره هاگزاره‌ها اثبات شده به حساب نمی آیندنمی‌آیند.
▲چنین شواهدی اثبات را تشکیل نمی دهندنمی‌دهند. برای مثال،حدسمثال، مرتنزحدس گزارهمرتنز ایگزاره‌ای است درباره اعداد طبیعی که الان می دانیممی‌دانیم غلط است اما هیچ مثال نقضی شناخته نشده است (عدد طبیعی n برای تابع M(n) که برابر ریشه دوم n است). تمام اعداد کمتر از 1014۱۰۱۴ خاصیت مرتنز را دارند و کوچکترین عددی که این خاصیت را ندارد تنها معلوم است که از تابع نمایی عدد 1.59x1040 که تقریبا برابر 10۱۰ به توان 4.3۴٫۳* 1039۱۰۳۹ کمتر می باشدمی‌باشد. چون تعداد ذرات در جهان به طور کل کمتر از 10۱۰ به توان 100۱۰۰ به حساب میمی‌آیند، آیند،امیدیامیدی نیست که یک مثال نقض با جستجوهای خسته کننده پیدا بشود.
▲در نظر داشته باشید که کلمه '''نظریه'''در ریاضیات نیز وجود دارد؛برایدارد؛ برای معنی کردن اصل موضوع ریاضیات،تعاریفریاضیات، تعاریف و قضایا مثلا در قضیه گروه. چندین قضیه در علوم به ویژه فیزیک و در مهندسی وجود دارد اما انها اغلب گزاره هاگزاره‌ها و اثبات هاییاثبات‌هایی دارند که در فرضیات فیزیکی و شهود نقش مهمی ایفا میمی‌کند؛ کند؛قاعدهقاعده کلی فیزیکی برای چنین قضایایی بر این پایه هست که خودشان باطل هستند.
▲تعدادی از واژه هایواژه‌های مختلف برای عبارات ریاضی وجود دارد که این واژهواژه‌ها ها گزاره هاگزاره‌ها را بیان می کنندمی‌کنند. استفاده از بعضی لغات ممکن است به صورت قرار دادی باشد و گاهی معانی لغات تکامل می یابدمی‌یابد.
▲'''اصل''' یا اصل موضوع گزاره ایگزاره‌ای است که بدون اثبات پذیرفته می شودمی‌شود و به عنوان اساسی برای موضوع است. از لحاظ تاریخی این به عنوان "«بدیهی "» در نظر گرفته شده است ،است، اما اخیرا آن هاآن‌ها فرضی در نظر گرفته می شوندمی‌شوند که موضوع مطالعه را مشخص می کندمی‌کند. در هندسه کلاسیک، اصول موضوعه بیانیه هایبیانیه‌های عمومی هستند در حالی که اصول موضوعه اظهاراتی در مورد اشیاء هندسی می باشدمی‌باشد.
▲'''گزاره'''(پیشنهاد ) یک اصطلاح عمومی است برای قضایایی که از اهمیت کمتری برخوردارند. این واژه گاهی اوقات یک بیانیه متضمن با یک اثبات ساده است در حالی که واژه قضیه هنگامی استفاده می شودمی‌شود که نتیجه مهم یا اثبات دشوارتری در کار باشد.
▲'''لم''' یک کمک قضیه است. یک گزاره با کاربرد کمی که بخشی از یک اثبات طولانی را تشکیل می دهدمی‌دهد. در برخی موارد که اهمیت نسبی بعضی قضایا روشن شد و گزاره ایگزاره‌ای که در گذشته لم نامیده می شدمی‌شد قضیه نام گرفت اما واژه لم هم چنان باقی ماند.
▲'''نتیجه فرعی''' یا استنباط گزاره ایگزاره‌ای است بدون اثبات یا با اثباتی کم که از قضیه دیگر یا یک تعریف نتیجه گیرینتیجه‌گیری شده است.
▲'''عکس قضیه''' گزاره ایگزاره‌ای است که با معکوس کردن یک قضیه و اثبات آن بدست می آیدمی‌آید.
▲همچنین لغاتی وجود دارند که کمتر استفاده می شوندمی‌شوند که به طور معمول به اظهارات اثبات شده متصل اند:
▲'''تطابق'''، که برای قضایایی که برای بیان برابری دو عبارت ریاضی است مورد استفاده قرار می گیردمی‌گیرد.
▲'''حکم''' که برای قضایایی که با فرمول منتشر می شودمی‌شود مورد استفاده قرار میمی‌گیرد؛ و هم چنین کلماتی دیگر از جمله '''قانون''' و''' قاعده''' و گیرد...
▲== ترتیب و طرح بندی (مراحل) ==
یک قضیه و اثبات آن به طور معمول به صورت زیر دارای ترتیب هستند:
قضیه (اسم شخص اثبات کننده و سال کشف،اثباتکشف، اثبات یا نشر آن)
جملات یک قضیه (معمولا گزاره گفته می شودمی‌شود)
اثبات
توضیح اثبات
نشان خاتمه
انتهای اثبات ممکن است با حروف Q.E.D.( quod erat demonstrandum) علامت گذاری شود یا با یکی از علامات "□" یا "∎" به معنی پایان اثبات می¬باشدمی‌باشد که به وسیله پائول هالموس به دنبال موارد استفاده آن¬هاآن‌ها در مقالات مجلات معرفی شد.
سبک دقیق بستگی به نویسنده یا انتشارات دارد. بسیاری از انتشارات،ساختارهاانتشارات، ساختارها یا ماکروهایی برای حروف چینی در سبک هایسبک‌های خانگی فراهم می کنندمی‌کنند.
در یک قضیه معمول آن است که بوسیله تعاریفی،مفهومتعاریفی، مفهوم دقیق شرایط و اصطلاحات استفاده شده در قضیه را شرح میمی‌دهند، دهند،مقدممقدم بشوند. همچنین معمول است که یک قضیه بوسیله تعداد گزاره هاگزاره‌ها یا لم هالم‌ها که در اثبات استفاده شدهشده‌اند، اند،مقدممقدم بشوند. هر چند،لمچند، هالم‌ها معمولا در اثبات قضیه جا داده میمی‌شوند، شوند،چهچه همراه با اثبات هایاثبات‌های تودرتو و یا چه همراه با اثبات¬هایاثبات‌های ارائه شده بعد از اثبات اصلی قضیه.
استنباط هااستنباط‌ها یا نتایج یک قضیه یا بین قضیه و اثبات مطرح می شودمی‌شود یا مستقیما بعد از اثبات. بعضی اوقات،استنباطاوقات، هااستنباط‌ها اثبات هاییاثبات‌هایی برای خودشان دارند که توضیح می دهندمی‌دهند چرا در اثبات قضیه استفاده شده اندشده‌اند.
=== تاریخچه ===
تخمین زده شده است که بیش از یک چهارم یک میلیون قضیه،هرقضیه، هر سال اثبات می شودمی‌شود.
جمله معروف "ریاضیدان دستگاهی است برای تبدیل قهوه با قضیه ها"هاً که احتمالا از آلفرد رنیی میمی‌باشد؛ باشد؛اگرچهاگرچه اغلب به همکار رنیی،پائولرنیی، اردوس،کسیپائول اردوس، کسی که به خاطر تعداد زیادی قضیه،تعدادقضیه، تعداد و میزان همکاریهمکاری‌هایش، هایش،وو نوشیدن قهوه،مشهورقهوه، مشهور بوده است،نسبتاست، نسبت داده شده است (رنیی ممکن است در تفکر مانند اردوس بوده باشد)
ردهرده‌بندی بندی گروه هایگروه‌های متناهی ساده توسط برخی درنظر گرفته شده است که طولانی ترین اثبات یک قضیه می باشدمی‌باشد که ده هاده‌ها هزار صفحه در 500۵۰۰ مقاله ژورنال هاژورنال‌ها بوسیله 100۱۰۰ نویسنده را دربر داشته است.این برگهاین هابرگه‌ها با هم بر این باور بودند که یک اثبات کامل ارائه دهند و چندین پروژه در حال پیشرفت نیز امید دارند که این اثبات را ساده ترساده‌تر کنند. قضیه دیگر از این نوع،قضیهنوع، 4قضیه رنگ۴ میرنگ باشدمی‌باشد که اثبات انجام شده توسط کامپیوتر آنقدر طولانی است که امکان خواندن برای افراد وجود ندارد. دقیقا طولانی ترین اثبات شناخته شده قضیه ایقضیه‌ای که گزاره آن به سادگی توسط یک شخص عام فهمیده می شودمی‌شود.
== قضایا در منطق ==
منطق،بهمنطق، به ویژه در زمینه اثبات قضیه،قضایاقضیه، قضایا را همانند جملات و گزاره هایگزاره‌های یک زبان رسمی به حساب می آوردمی‌آورد (که به آن فرمول گفته می شودمی‌شود).گزاره هایگزاره‌های یک زبان رشته هایرشته‌های نمادها هستند و ممکن است به طور گسترده به حرف هایحرف‌های پوچ و فرمول هایفرمول‌های خوش فرم تقسیم شوند. مجموعه ایمجموعه‌ای از قوانین قیاس،کهقیاس، که قانون تبدیل و دگرگونی و یا قانون استنتاج نیز گفته میمی‌شود، شود،بایدباید فراهم گردد. این قوانین دقیقا بیان می کندمی‌کند که چه هنگام یک فرمول می تواندمی‌تواند از مجموعه ایمجموعه‌ای از فرضیات قبلی مشتق شود. مجموعه فرمول هایفرمول‌های خوش فرم ممکن است به طور گسترده به قضایا و غیرقضایا تقسیم شوند. هر چند،باچند، با توجه به هافستادتر،یکهافستادتر، یک سیستم صوری،اغلبصوری، اغلب به طور خیلی ساده فرمول هایفرمول‌های خوش فرم را مانند قضایا تعریف می کندمی‌کند.
مجموعه هایمجموعه‌های متفاوت قوانین استنتاج به تفاسیر گوناگونی از آن چیزی ختم می شودمی‌شود که به معنای بیانی یک قضیه است.
بعضی از قوانین استنتاج و زبان هایزبان‌های صوری بر آن شده بودند که استدلال ریاضیاتی به دست آورند؛رایجآورند؛ رایج ترین مثال مورد استفاده منطق مرتبه اول میمی‌باشد. باشد.سایر روش هایروش‌های استنتاجی مدت و شرایط بازنویسی را توضیح می دهدمی‌دهد. مانند قوانین کاهش برای حساب لاندا.
تعریف قضیه هاقضیه‌ها به عنوان عناصر زبان صوری نتایج اثبات قضیه را قادر می سازدمی‌سازد که ساختار اثبات هایاثبات‌های صوری و فرمول هایفرمول‌های قابل اثبات را مورد مطالعه و بررسی قرار دهد. معروف ترین دستدست‌آورد، آورد،قضیهقضیه ناتمامیت گودل میمی‌باشد؛ باشد؛بابا نشان دادن قضایا درباره تئوری اعداد اساسی به عنوان بیانی در زبان صوری،وصوری، و سپس نشان دادن این زبان همراه باخود نظریه اعداد،گودلاعداد، مثالگودل هاییمثال‌هایی از گزاره هاییگزاره‌هایی پدید آورد که با توجه به اصل موضوعه نظریه اعداد نه قابل اثبات هستند نه غیرقابل اثبات.
یک قضیه ممکن است در زبان صوری بیان شود. یک قضیه صوری،بهصوری، به طور محض،نظیرمحض، نظیر صوری قضیه است. در کل،یککل، یک قضیه صوری نوعی از فرمول خوش فرم هست که شرایط نحوی و معین منطقی را راضی می کندمی‌کند. مفهوم {{tee}} <math>S</math>اغلب استفاده می شودمی‌شود برای آنکه نشان بدهد <math>S</math> یک قضیه است.
قضایای صوری از فرمول هایفرمول‌های زبان صوری و قوانین ترکیب روش صوری تشکیل شده است. به خصوص،یکخصوص، یک قضیه صوری همیشه آخرین فرمول یک استنتاج در بعضی روش هایروش‌های صوری است که هر کدام از فرمول هافرمول‌ها یک گزاره منطقی است از فرمول هاییفرمول‌هایی که قبلا در استنتاج آمدهآمده‌اند. اند.به فرمول هایفرمول‌های پذیرفته شده اولیه در استنتاج،اصلاستنتاج، اصل موضوعه آن می گویندمی‌گویند و بر پایه ایپایه‌ای هستند که قضیه استنتاج شده است. به مجموعه ایمجموعه‌ای از قضایا،نظریهقضایا، مینظریه گویندمی‌گویند.
آنچه که قضایا را مفید و جالب ساخته آن است که آنها می توانندمی‌توانند به عنوان یک گزاره حقیقی مطرح بشوند و مشتقات (استنتاج هایاستنتاج‌های) آن هاآن‌ها ممکن است به عنوان اثبات درستی گزاره پایانی باشد. مجموعه ایمجموعه‌ای از قضایای صوری ممکن است به عنوان نظریه صوری ارجاع داده شوند.قضیه ایقضیه‌ای که تفسیر آن گزاره ایگزاره‌ای درست درباره روش (سیستم) صوری است را قضیه متا می گویندمی‌گویند.
=== صرف و نحو ===
مقالات اصلی: صرف (منطق) و معناشناسی صوری (منطق)
مفهوم قضیه صوری اساساً نحوی است و در تضاد با مفهوم گزاره حقیقی است که معناشناسی را معرفی می کندمی‌کند. روشهای استقرایی متفاوت می تواندمی‌تواند سایر تفاسیر و تعابیر را با توجه به فرضیات قوانین استنتاج ثمر ببخشد (باور،توجیهباور، توجیه و سایر شروط). خوش فکری یک روش صوری بستگی به این دارد که تمامی قضایای آن اعتبار دارد یا خیر. اعتبار فرمولی است که تحت هر تفسیر درست میمی‌باشد؛ باشد؛مثلامثلا در گزاره هایگزاره‌های کلاسیک منطق،اعتبارهامنطق، اعتبارها حشو و زائد هستند. یک روش (سیستم) صوری هنگامی به صورت معنایی کامل به حساب می آیدمی‌آید که تمام حشوهای آن،خودآن، خود نیز قضایایی هستند.
== استنتاج یک قضیه ==
مقاله اصلی: اثبات صوری
مفهوم قضیه به اثبات صوری آن،بهآن، به طور خیلی نزدیک به آن مربوط شده است (استنتاج نیز می نامندمی‌نامند). برای اینکه نشان بدهند استنتاج هااستنتاج‌ها چگونه انجام میمی‌شوند، شوند،ماما در یک روش (سیستم) صوری بسیار ساده شده عمل خواهیم کرد. فرض کنیم که حروف <math>\mathcal{FS}</math> از دو نماد A و B تشکیل شده است و قانون ترکیب آن برای فرمول برابر است با:
"«هر رشته از نماد <math>\mathcal{FS}</math> که حداقل طول آن رشته سه است و دارای طول بینهایت نمی باشد"نمی‌باشد»، یک فرمول است. هیچ چیز دیگری فرمول نیست.
تنها اصل موضوعه<math>\mathcal{FS}</math> برابر است با: ABBA
تنها قاعده استنتاج ( قانون دگرگونی یا تبدیل) برای <math>\mathcal{FS}</math> برابر است با: هر رخداد A در قضیه،ممکنقضیه، ممکن اس با رخداد رشته AB جایگزین شود و پی آمد آن یک قضیه می باشدمی‌باشد.
قضایا در <math>\mathcal{FS}</math> طوری تعریف شده اندشده‌اند که با توجه به ان قواعد،یکقواعد، یک پایان استنتاجی همراه با آن قاعده داشته باشند. برای مثال:
ABBA (به عنوان اصل موضوعه)
ABBBA (با اعمال قانون دگرگونی یا تبدیل)
ABBBAB (با اعمال قانون دگرگونی یا تبدیل)
یک استناج است.است؛ بنابراین "ABBBAB" یک قضیه <math>\mathcal{FS}</math> است. مفهوم حقیقت و درستی ( یا نادرستی) نمی تواندنمی‌تواند به قاعده و فرمول "ABBBAB" اعمال شود مگر اینکه یک تفسیر و تعبیر برای نمادهای آن تعریف شود. در نتیجه در این مثال،قاعدهمثال، قاعده و فرمول هنوز یک گزاره را ارائه و مطرح نمی کندنمی‌کند اما صرفا یک انتزاع پوچ می باشدمی‌باشد.
دو اشتراک موجود در قضایای <math>\mathcal{FS}</math> عبارتند از:
هر قضیه با A شروع می شودمی‌شود
هر قضیه دقیقا دارای دو A می باشدمی‌باشد.
== جستارهای وابسته ==
| 