همگشت: تفاوت میان نسخه‌ها
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
بدون خلاصۀ ویرایش برچسب: نیازمند بازبینی |
ابرابزار |
||
خط ۴:
[[پرونده:Convolucion de entrada con respuesta al impulso.gif|بندانگشتی|چپ|250px|Convolution of a square pulse (as input signal) with the impulse response of an RC circuit in order to obtain the output signal waveform. The integral of their product is the area of the yellow region.]]
'''کانولوشن''' یا '''همگشت''' در [[ریاضیات]]
کانولوشن (همگشت) را
محاسبه معکوس کانولوشن (همگشت)، [[دکانولوشن]] نام دارد.
== تاریخچه ==
عمل
:<math>\int_0^t\varphi(s)\psi(t-s)ds</math>،
به ازای
<math>0\le t<\infty</math>،
حالت خاص ضرب ترکیبی است که ریاضیدان ایتالیایی [[ویکی‌پدیا:Vito Volterra|ویتو ولترا]] آن را مطرح کرده است.<ref>According to
[Lothar von Wolfersdorf (2000), "Einige Klassen quadratischer Integralgleichungen",
''Sitzungsberichte der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig'',
سطر ۳۱ ⟵ ۳۰:
== تعریف ==
کانولوشن (همگشت) ''ƒ'' و ''g'' به صورت ''ƒ*g'' نوشته
▲کانولوشن(همگشت) ''ƒ'' و ''g'' به صورت ''ƒ*g'' نوشته می شود. این تعریف به صورت انتگرال حاصلضرب دو تابع که یکی از آنها برعکس شده و روی یکدیگر می لغزند تعریف می شود. با این تعریف، کانولوشن یک نوع خاص از [[تبدیل انتگرالی]] است
:{|
|<math>(f * g
|<math>\stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau)\, g(t - \tau)\, d\tau</math>
|-
سطر ۴۲ ⟵ ۴۰:
|}
با این که ''t'' در رابطه بالا مورد استفاده قرار گرفته است، لزومی برای کار در دامنه زمان
:<math>(f * g
{| class="wikitable"
سطر ۵۰ ⟵ ۴۸:
!colspan=2 |'''شرح تصویری کانولوشن'''
|-
|
شکل موج بدست آمده (که در اینجا نمایش داده نشده است) کانولوشن تابع ''f'' و ''g'' است. اگر '''(f(t''' [[پالس واحد|تابع ضربه]] باشد، نتیجه این عمل همان '''(g(t''' خواهد بود، که پاسخ ضربه نامیده
|[[پرونده:Convolution3.PNG|راست|400px]]
|}
=== کانولوشن (همگشت)
{{مقاله اصلی|:en:Circular convolution}}
وقتی یک تابع ''g''<sub>T</sub> متناوب باشد (که T دوره تناوب آن است)، آنگاه برای تابع ƒ (به طوری که ƒ∗''g''<sub>T</sub> وجود داشته باشد)، کانولوشن نیز متناوب و یکتا خواهد بود:
:<math>(f * g_T)(t) \equiv \int_{t_0}^{t_0+T} \left[\sum_{k=-\infty}^{\infty} f(\tau + kT)\right] g_T(t - \tau)\ d\tau,\,</math>
که ''t''<sub>o</sub> یک مقدار انتخاب است. جمع، یک '''بسط متناوب''' از تابع ''ƒ'' خوانده
اگر ''g''<sub>T</sub> بسط متناوب یک تابع دیگر (مثلاً ''g'') باشد، آنگاه رابطه ƒ∗''g''<sub>T</sub> را کانولوشن ''
== کانولوشن گسسته ==
برای توابع دارای مقدار مختلط ƒ، ''g'' بر روی مجموعه اعداد صحیح '''Z''' تعریف شده است، ''انتگرال گسسته'' ƒ و ''g' با رابطه زیر بدست
▲برای توابع دارای مقدار مختلط ƒ، ''g'' بر روی مجموعه اعداد صحیح '''Z''' تعریف شده است، ''انتگرال گسسته'' ƒ و ''g' با رابطه زیر بدست می آید:
:<math>(f * g)[n]\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{m=-\infty}^{\infty} f[m]\, g[n - m]</math>
::::<math>= \sum_{m=-\infty}^{\infty} f[n-m]\, g[m].</math> ([[#خواص|جابجا پذیری]])
زمانی که دو [[چندجمله‌ای]] را ضرب
=== کانولوشن گسسته دایره ای ===▼
وقتی یک تابع ''g''<sub>N</sub> (با تناوب N) متناوب است، آنگاه برای توابعی مانند ƒ، به طوری که ƒ∗''g''<sub>N</sub> وجود داشته باشد، کانولوشن متناوب و یکتا خواهد بود:
:<math>(f * g_N)[n] \equiv \sum_{m=0}^{N-1} \left(\sum_{k=-\infty}^{\infty} {f}[m+kN] \right) g_N[n-m]\,</math>
حاصل این مجموع بر روی ''k'' را '''بسط
اگر ''g''<sub>N</sub> بسط
زمانی که طول زمانی غیرصفر هر دو تابع ƒ و ''g'' به محدوده [0, ''N''-
{{NumBlk|:|<math>(f * g_N)[n] = \sum_{m=0}^{N-1} f[m]\ g_N[n-m]\,</math>|{{EquationRef|Eq.1}}}}
سطر ۹۸ ⟵ ۹۴:
::::<math>= \sum_{m=0}^{N-1} f[m]\ g[(n-m)_{\mod{N}}]\quad \stackrel{\mathrm{def}}{=}\quad (f *_N g)[n]\,</math>
نماد <math>(f *_N g)\,</math> برای ''کانولوشن
=== الگوریتم‌های کانولوشن سریع ===
در برخی حالات، کانولوشن گسسته
{{EquationNote|Eq.1}} به ازای هر مقدار خروجی به ''N'' عمل محاسباتی نیاز دارد و در نتیجه ''N''<sup>2</sup> عمل برای ''N''
▲در برخی حالات، کانولوشن گسسته می تواند به کانولوشن دایره ای تبدیل شود تا بتوان از خواص کانولوشن برای اجرای تبدیل سریع توسط کامپیوتر بهره برد. برای مثال، کانولوشن توالی رقمی <ref>Digital</ref> یک عمل بسیار مهم [[ضرب]] اعداد چندرقمی است، که در نتیجه می تواند به صورت بهینه ای با تکنیک‌های تبدیل پیاده سازی شود({{harvnb|Knuth|1997|loc=§4.3.3.C}}; {{harvnb|von zur Gathen|Gerhard|2003|loc=§8.2}}).
مرسوم‌ترین الگوریتم کانولوشن سریع، از الگوریتم‌های [[تبدیل فوریه سریع]] (FFT) [[wikipedia:iscrete Fourier transform#Circular convolution theorem and cross-correlation theorem|قضیه کانلوشن
▲{{EquationNote|Eq.1}} به ازای هر مقدار خروجی به ''N'' عمل محاسباتی نیاز دارد و در نتیجه ''N''<sup>2</sup> عمل برای ''N'' خروجی. که این مقدار محاسبات با اشستفاده از هر کدام از الگوریتم‌های سریع به طور چشمگیریمی تواند کاهش یابد. [[پردازش سیگنال دیجیتال]] و دیگر کاربردهای مهندسی معمولاً از الگوریتم‌های کانولوشن سریع برای کاهش هزینه محاسبات کانولوشن با پیچیدگی از درجه O(''N'' log ''N'') اسشتفاده می کنند.
▲مرسوم‌ترین الگوریتم کانولوشن سریع، از الگوریتم‌های [[تبدیل فوریه سریع]] (FFT) [[wikipedia:iscrete Fourier transform#Circular convolution theorem and cross-correlation theorem|قضیه کانلوشن دایره ای]] استفاده استفاده می کنند. در حالت خاص، [[کانولوشن دایره ای]] دو توالی با طول محدود را می توان با اعمال FFT هر کدام، ضرب نقطه به نقطه، و سپس اعمال FFT معکوس بدست آورد. در نتیجه انواع کانولوشن تعریف شده در بالا را به صورت بهینه می توان با استفاده از تکنیک هایی همراه با افزودن و/یا کاهش صفر خروجی پیاده سازی کرد. الگوریتم های کانولوشن سریع دیگر، مثل [[wikipedia:Schönhage–Strassen algorithm|الگورستم شون هاگه- اشتقاسِن]]، نیز از تبدیل فوریه سریع در [[wikpedia:ring (mathematics)|حلقه]] دیگ استفاده می کنند.
== دامنه تعریف ==
سطر ۱۱۳ ⟵ ۱۰۸:
:<math>(f*g)(x) = \int_{\mathbf{R}^d}f(y)g(x-y)\,dy</math>
خوش تعریف است، تنها اگر ƒ و ''g'' به اندازه کافی در بینهایت افت سریع خواهد داشت که انتگرال آن وجود داشته باشد. شرایط وجود کانولوشن تا حدودی ما را به اشتباه میندازد، زیرا ''یک انفجار'' (blow up) در تابع ''g'' در بینهایت به راحتی با افت سریع تابع ƒ در بینهایت جبران
=== Compactly supported functions ===
سطر ۱۱۹ ⟵ ۱۱۴:
=== توابع انتگرال پذیر ===
کانولوشن ''ƒ'' و ''g'' وجود دارد اگر ''ƒ'' و ''g'' هر دو [[wikipedia:Lebesgue integral|توابع انتگرال پذیر لبسگو]] (
:<math>\|{f}*g\|_p\le \|f\|_1\|g\|_p. \,</math>
در حالت خاص ''p''=
به طور کلی تر، [[wikipedia:Young's inequality#Young's inequality for convolutions|نامساوی یونگ]] بیان می‌کند که کانولوشن یک نگاشت دوطرفه پیوسته بین فضاهای L<sup>p</sup> مناسب است. به طور خاص، اگر 1 ≤ ''p'',''q'',''r'' ≤ ∞ رابطه زیر را ارضا کنند
سطر ۱۳۶ ⟵ ۱۳۱:
=== توابع با نزول سریع ===
علاوه بر توابع با پشتیبانی کامل و توابع انتگرال پذیر، توابعی که دارای سرعت نزول سریع در بینهایت هستندنیز
===
{{Main|توزیع (ریاضیات)}}
تحت برخی شرایط،
:<math>\int_{\mathbf{R}^d} {f}(y)g(x-y)\,dy.</math>
در حالت کلی تر،
:<math>f*(g*\varphi) = (f*g)*\varphi\,</math>
===
کانولوشن هر دو [[wikipedia:Borel measure|اندازه بورل]] μ و ν از [[wikipedia:bounded variation|تغییر محدود]]، [[نظریه اندازه|اندازه]] λ است که با رابطه زیر تعریف
▲کانولوشن هر دو [[wikipedia:Borel measure|اندازه بورل]] μ و ν از [[wikipedia:bounded variation|تغییر محدود]]، [[نظریه اندازه|اندازه]] λ است که با رابطه زیر تعریف می شود:
:<math>\int_{\mathbf{R}^d} f(x)d\lambda(x) = \int_{\mathbf{R}^d}\int_{\mathbf{R}^d}f(x+y)\,d\mu(x)d\nu(y).</math>
سطر ۱۵۷ ⟵ ۱۵۱:
این رابطه زمانی که μ و ν را توزیع در نظر بگیریم با کانولوشن‌های تعریف شده در بالا مطابقت دارد؛ همچنین برای کانولوشن توابع L<sup>1</sup> وقتی که μ و ν نسبت به اندازه لبسگو مطلقاً پیوسته باشند.
همچنین، کانولوشن اندازه‌ها نسخه دیگری از نامعادله یونگ که در زیر آمده است را ارضا
<math>\|\mu*\nu\|\le \|\mu\|\|\nu\|</math>
که نُرم، [[wikipedia:total variation|تغییر کلی]] اندازه است. از آنجا که فضای اندازه تغییر محدود یک [[فضای باناخ]] است، با کانولوشن اندازه
== Properties ==
سطر ۱۶۷ ⟵ ۱۶۱:
{{See also|Convolution algebra}}
کانولوشن یک ضرب را بر روی [[فضای برداری]] توابع انتگرال پذیر است. این حاصلضرب خواص ریاضی زیر را ارضا
; [[خاصیت جابجایی|جابجایی]]
: <math>f * g = g * f
; [[wikipedia:Associativity|انجمنی]]
: <math>f
; [[wikipedia:Distributivity|توزیع پذیری]]
: <math>f
؛ خاصیت انجمنی با یک عدد اسکالر
: <math>a (f
به ازای هر عدد حقیقی (مختلط)<math>{a}\,</math>
; [[خنثی در ضرب]]
هیچ عمل جبری توابع، یک عامل خنثی در ضرب را برای کانولوشن ایجاد نمی‌کنند. کمبود عامل شخنثی در ضرب عملاً مشکل بزرگی به حساب نمی‌آید، زیرا زیرا اکثر توابعی که کانولوشن روی آنها انجام می‌شود را
:<math>f*\delta = f\,</math>
سطر ۱۹۲ ⟵ ۱۸۶:
؛ عنصر معکوس
برخی توزیع‌ها برای کانولوشن یک [[عنصر معکوس]] دارند، ''S''<sup>−1</sup>، که با رابطه زیر تعریف
: <math>S^{(-1)} * S = \delta. \,</math>
مزدوج مختلط؛ <math>\overline{f * g} = \overline{f} * \overline{g} \!\ </math>
=== انتگرال گیری ===
اگر ''ƒ'' و ''g'' توابع انتگرال پذیر باشند، آنگاه انتگرال کانلوشن آنها در تمام فضا، از حاصلضرب انتگرال آنها بدست
:<math>\int_{\mathbf{R}^d}(f*g)(x)dx=\left(\int_{\mathbf{R}^d}f(x)dx\right)\left(\int_{\mathbf{R}^d}g(x)dx\right).</math>
این رابطه از [[wikipedia:Fubini's theorem|قضیه فوبینی]] بر گرفته شده است. نتیجه مشابهی نیز برقرار است در صورتی که ''ƒ'' و ''g'' فقط توابع قابل
=== دیفرانسیل گیری ===
در حالت یک متغیری داریم
: <math>\frac{d}{dx}({f} * g) = \frac{df}{dx}
که ''d''/''dx'' همان [[مشتق]] است. به طور کلی، در حالتی که توابعی از متغیرهای مختلف داشته باشیم، فرمول مشابهی با استفاده از [[مشتق پاره‌ای]] برقرار است
سطر ۲۱۸ ⟵ ۲۱۰:
:<math>\frac{\partial}{\partial x_i}({f} * g)(x) = \frac{\partial f}{\partial x_i} * g = {f} * \frac{\partial g}{\partial x_i}.</math>
یک نتیجه خاص این رابطه ان است که کانولوشن را
این خاصیت تحت شرایطی برقرار است که ''ƒ'' و ''g'' مطلقاً انتگرال پذیر باشند و به عنوان یکی از نتایج [[wikipedia:Young's inequality|نامعادله یونگ]] حداقل یکی از آنها دارای absolutely integrable (L<sup>1</sup>) weak derivative. برای مثال، زمانی که ''ƒ'' مشتق پذیر پیوسته با پشتیبانی کامل باشد، و ''g'' یک تابع دلخواه و انتگرال پذیر محدود باشد، آ
:<math>\frac{d}{dx}({f} * g) = \frac{df}{dx}
These identities also hold much more broadly in the sense of tempered distributions if one of ''ƒ'' or ''g'' is a compactly supported distribution or a Schwartz function and the other is a tempered distribution. On the other hand, two positive integrable and infinitely differentiable functions may have a nowhere continuous convolution.
سطر ۲۲۸ ⟵ ۲۲۰:
In the discrete case, the [[روش تفاضلات محدود]] ''D'' ƒ(''n'') = ƒ(''n'' + 1) − ƒ(''n'') satisfies an analogous relationship:
:<math>D(f*g) = (Df)*g = f*(Dg). \,</math>
=== قضیه کانولوشن ===
[[قضیه کانولوشن]] می‌کند که
:<math> \mathcal{F}\{f * g\} = k\cdot \mathcal{F}\{f\}\cdot \mathcal{F}\{g\}</math>
که <math> \mathcal{F}\{f\}\,</math> بیان کننده [[تبدیل فوریه]] تابع <math>f</math> است، و <math>k</math> یک عدد ثابت است که وابسته به [[wikipedia:Normalizing constant|نرمالیزه]] تبدیل فوریه است (
[[همچنین
=== Translation invariance ===
سطر ۲۴۶ ⟵ ۲۳۸:
where τ<sub>''x''</sub>ƒ is the translation of the function ƒ by ''x'' defined by
:<math>(\tau_x f)(y) = f(y-x). \,</math>
If ƒ is a [[Schwartz function]], then τ<sub>''x''</sub>ƒ is the convolution with a translated Dirac delta function τ<sub>''x''</sub>ƒ = ƒ∗τ<sub>''x''</sub> δ. So translation invariance of the convolution of Schwartz functions is a consequence of the associativity of convolution.
سطر ۲۶۴ ⟵ ۲۵۶:
In typical cases of interest ''G'' is a [[locally compact]] [[فضای هاسدورف|Hausdorff]] [[topological group]] and λ is a (left-) [[Haar measure]]. In that case, unless ''G'' is [[unimodular group|unimodular]], the convolution defined in this way is not the same as <math>\textstyle{\int f(xy^{-1})g(y)d\lambda(y)}</math>. The preference of one over the other is made so that convolution with a fixed function ''g'' commutes with left translation in the group:
:<math>L_h(f*g) = (L_hf)*g = f*(L_hg). \,</math>
Furthermore, the convention is also required for consistency with the definition of the convolution of measures given below. However, with a right instead of a left Haar measure, the latter integral is preferred over the former.
On locally compact [[گروه آبلی|abelian groups]], a version of the [[convolution theorem]] holds: the Fourier transform of a convolution is the pointwise product of the Fourier transforms. The [[circle group]] '''T''' with the Lebesgue measure is an immediate example. For a fixed ''g'' in ''L''<sup>1</sup>('''T'''), we have the following familiar operator acting on the [[فضای هیلبرت]] ''L''<sup>2</sup>('''T'''):
:<math>T {f}(x) =
The operator ''T'' is [[compact operator on Hilbert space|compact]]. A direct calculation shows that its adjoint ''T*'' is convolution with
:<math>\bar{g}(-y).</math>
سطر ۲۸۸ ⟵ ۲۸۰:
== Convolution of measures ==
Let ''G'' be a topological group.
If μ and ν are finite [[Borel measure|Borel measures]] on a group ''G'', then their convolution μ∗ν is defined by
:<math>(\mu * \nu)(E) = \int\!\!\!\int 1_E(xy) \,d\mu(x) \,d\nu(y)</math>
سطر ۳۰۴ ⟵ ۲۹۶:
:<math>X \xrightarrow{\Delta} X\otimes X \xrightarrow{\phi\otimes\psi} X\otimes X \xrightarrow{\nabla} X. \, </math>
The convolution appears notably in the definition of [[Hopf algebra|Hopf algebras]] {{harv|Kassel|1995|loc=§III.3}}. A bialgebra is a Hopf algebra if and only if it has an antipode: an endomorphism ''S'' such that
:<math>S * \operatorname{id}_X = \operatorname{id}_X * S = \eta\circ\varepsilon.</math>
== کاربردها ==
* در [[مهندسی برق]]، کانولوشن یک تابع ([[سیگنال ورودی]]) با یک تابع دوم ([[پاسخ ضربه]]) خروجی یک [[سیستم خطی تغییرناپذیر با زمان]] (LTI) را بر
▲ردپای کانولوشن و عملیات مربوطه در بسیاری از کاربردهای مهندسی و ریاضی پیداست.
** در کاربردهای [[wikipedia:digital signal processing|پردازش سیگنال رقمی]] و [[پردازش تصویر]]، تابع ورودی به طور کامل در دسترس است و لذا
▲* در [[مهندسی برق]]، کانولوشن یک تابع ([[سیگنال ورودی]]) با یک تابع دوم ([[پاسخ ضربه]]) خروجی یک [[سیستم خطی تغییرناپذیر با زمان]] (LTI) را بر می گرداند. خروجی سیستم در هر لحظه برابر با اثر جمعی تمام مقادیر پیشین تابع ورودی است، که آخرین مقادیر معمولاً بیشتریت تاثیر را دارند (که با عامل شرب شوندگی بیان می شود). تابع پاسخ ضربه این عامل را برای ما مهیا می‌کند که [[تابع|تابعی]] از اثر مقدار ورودی در زمان‌های گذشته است.
** کانولوشن هر مولفه فرکانسی را به طور مستقل بدون وابستگی به دیگر فرکانس‌ها تقویت و با تضعیف
▲** در کاربردهای [[wikipedia:digital signal processing|پردازش سیگنال رقمی]] و [[پردازش تصویر]]، تابع ورودی به طور کامل در دسترس است و لذا می توان هر قسمت از خروجی را بدست آورد. در این نوع، می توان از مزیت این که خروجی تنها به چند ورودی اخیر بستگی دارد بهره برد.
▲** کانولوشن هر مولفه فرکانسی را به طور مستقل بدون وابستگی به دیگر فرکانس‌ها تقویت و با تضعیف می کند.
* در [[آمار]]، همانطور که اخیراً بیان شد، کانولوشن در واقع یک [[wikipedia:moving average model|میانگین متحرک]] وزن دار است.
* در [[تئوری احتمال]]، [[توزیع احتمال]] مجموع دو [[متغیر تصادفی]] مستقل برابر است با کانولوشن توزیع‌های مستقل.
* در [[نورشناخت]]، بسیاری از انواع "بلور" را با کانولوسن بیان
* به طور مشابه، در [[wikipedia:digital image processing|پردازش سیگنال رقمی]]، فیلتر کانولوشنی نقش مهمی را در [[الگوریتم|
* در [[صداشناسی]]، یک پژواک کانولوشن صدای اصلی با تابعی است که عناصر بازپس دهنده صدا را توصیف
* در [[wikipedia:Reverberation|همهمه]] مصنوعی ([[پردازش سیگنال رقمی]]، صدای پس زمینه)، کانولوشن برای نگاشت [[پاسخ ضربه]] یک اتاق واقعی بر روی سیگنال صوتی رقمی استفاده
* In time-resolved [[fluorescence spectroscopy]], the excitation signal can be treated as a chain of delta pulses, and the measured fluorescence is a sum of exponential decays from each delta pulse.
* در سیستم‌های برنامه‌ریز درمان رادیویی، قسمت اعظم محاسبات کدها از الگوریتم‌های برهم‌نهی کانولوشن استفاده می‌کنند.
* در [[فیزیک]]، هر جا که [[سیستم خطی]] با "[[اصل برهم‌نهی]]" همراه می‌شود، کانولوشن را نیز خواهیم دید.
* در [[سامانه اطلاعات مکانی]]، پاسخ تقریب هسته‌ایِ تابعِ شدتِ یک الگوی نقطه‌ای، کانولوشن ایزوتروپیک هسته گوسی یک انحراف استاندارد با وزن‌های
== See also ==
سطر ۳۴۰ ⟵ ۳۳۱:
== Notes ==
{{پانویس}}
== References ==
* {{citation | author=Bracewell, R.| title=The Fourier Transform and Its Applications| edition=2nd |
publisher=McGraw–Hill | year=1986 | isbn=0071160434}}.
* {{Citation | last1=Hewitt | first1=Edwin | last2=Ross | first2=Kenneth A. | title=Abstract harmonic analysis. Vol. I | publisher=[[اشپرینگر ساینس+بیزینس مدیا|Springer Science+Business Media]] | location=Berlin, New York | edition=2nd | series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences] | isbn=978-3-540-09434-0 | id={{MathSciNet | id = 551496}} | year=1979 | volume=115}}.
* {{Citation | last1=Hewitt | first1=Edwin | last2=Ross | first2=Kenneth A. | title=Abstract harmonic analysis. Vol. II: Structure and analysis for compact groups. Analysis on locally compact Abelian groups | publisher=[[اشپرینگر ساینس+بیزینس مدیا|Springer Science+Business Media]] | location=Berlin, New York | series=Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 152 | id={{MathSciNet | id = 0262773}} | year=
* {{citation|id={{MR|0717035}}|first=L.|last= Hörmander|authorlink=Lars Hörmander|title=The analysis of linear partial differential operators I|series= Grundl. Math. Wissenschaft. |volume= 256 |publisher= Springer
* {{Citation | last1=Kassel | first1=Christian | title=Quantum groups | publisher=[[اشپرینگر ساینس+بیزینس مدیا|Springer Science+Business Media]] | location=Berlin, New York | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-94370-1 | id={{MathSciNet | id = 1321145}} | year=1995 | volume=155}}.
* {{citation|first=Donald|last=Knuth|authorlink=Donald Knuth|title=Seminumerical Algorithms|edition=3rd.|publication-place=Reading, Massachusetts|publisher=Addison–Wesley|year=1997|isbn=0-201-89684-2}}.
سطر ۳۵۶ ⟵ ۳۴۶:
* {{citation|first=R.|last=Strichartz|year=1994|title=A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms|publisher=CRC Press|isbn=0849382734}}.
* {{citation|last=Titchmarsh|first=E|authorlink=Edward Charles Titchmarsh|title=Introduction to the theory of Fourier integrals|isbn=978-0828403245|year=1948|edition=2nd|publication-date=1986|publisher=Chelsea Pub. Co.|location=New York, N.Y.}}.
* {{citation|last=Uludag|first=A. M. |authorlink=A. Muhammed Uludag|title=On possible deterioration of smoothness under the operation of convolution|journal=J. Math. Anal. Appl.
* {{citation|first=François|last=Treves|title=Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels|publisher=Academic Press|year=1967|isbn=0486453529}}.
* {{citation|first1=J.|last1=von zur Gathen|first2=J.|last2=Gerhard|title=Modern Computer Algebra|isbn=0-521-82646-2|year=2003|publisher=Cambridge University Press}}.
* {{citation|last=Diggle|first=P. J. |title=A kernel method for smoothing point process data|journal=Journal of the Royal Statistical Society, Series C) 34 (1985) 138–147|year=
== پیوند به بیرون ==
سطر ۳۷۱ ⟵ ۳۶۱:
* [http://www.archive.org/details/Lectures_on_Image_Processing Lectures on Image Processing: A collection of 18 lectures in pdf format from Vanderbilt University. Lecture 7 is on 2-D convolution.], by Alan Peters.
** http://www.vuse.vanderbilt.edu/~rap2/EECE253/EECE253_01_Intro.pdf
* [http://illusions.hu/index.php?task=32&lang=0&type=2&category=2 A collection of 2D convolution kernels]
* [http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/digitalimaging/processing/kernelmaskoperation/ Convolution Kernel Mask Operation Interactive tutorial]
* [http://mathworld.wolfram.com/Convolution.html Convolution] at [[مث‌ورلد]]
| |||