تناظر دوسویه: تفاوت میان نسخه‌ها

در ریاضیات یک '''[[تابع]] دوسویی''' ('''یا تناظر یک به یک''') به تابعی میان اعضای دو [[مجموعه]] گفته می‌شود به شرط این‌این که هر عضو از هر مجموعه با دقیقادقیقاً یک عضو از مجموعه دیگر جفت شده باشد. در هیچ‌کدام از مجموعه‌ها هیچ عضو بدون جفتی وجود ندارد.

هر تابع دو‌سوییدوسویی از مجموعه‌یمجموعهٔ ''X'' به مجموعه‌یمجموعهٔ ''Y'' دارای یک [[تابع معکوس|تابع وارون]] از ''Y'' به ''X'' است. اگر این دو مجموعه [[متناهی]] باشند در این صورت وجود تناظر یک‌به‌یک میان اعضای آن‌ها نشان‌دهنده‌ینشان‌دهندهٔ این است که تعداد اعضای این دو مجموعه برابر است. در مورد مجموعه‌های [[نامتناهی]] این تناظر‌هاتناظرها باعث به وجود آمدن مفهوم [[عدد اصلی|اعداد کاردینال]] شدند که روشی برای بررسی بی‌نهایت‌های متفاوت هستند.

هر تابع دو‌سوییدوسویی از یک مجموعه به خود آن مجموعه [[جایگشت]] نام دارد.

# هر عضو مجموعه‌یمجموعهٔ ''‌YY'' باید با حداقل یک عضو مجموعه‌یمجموعهٔ ''X'' جفت‌شده‌باشد و

شرط‌های یک و دو تضمین می‌کنند که ''f'' تابعی با [[دامنه یک تابع|دامنه‌ی]] ''X'' است. شرط‌های یک و دو گاهی به صورت یک شرط هم نوشته می‌شوند: باید هر عضو مجموعه‌یمجموعهٔ ''X'' دقیقادقیقاً با یک عضو از مجموعه‌یمجموعهٔ ''Y'' جفت شود.

== مثال ==

معلم در کلاس به دانش‌آموزان می‌گوید روی صندلی‌ها بنشینند و مشاهده می‌کند همه دانش‌آموزان نشسته‌اند و تمام صندلی هاصندلی‌ها پر هستند و نتیجه می‌گیرد تعداد دانش‌آموزان و صندلی‌ها برابر است.

# تمام دانش‌آموزان نشسته‌اند (هیچ‌کدام سرپا نیست)،

مثال دیگر بازیکنان فوتبال (یا هر ورزش دیگر) و جایگاه آن‌ها در زمین بازی است. اگر ۱۱ بازیکن و ۱۱ جایگاه در ترکیب تیم در نظر بگیریم با جفت کردن هر بازیکن با جایگاهش تناظر به دست‌دست می‌آید. چون ۴ شرط فوق برآورده می‌شوند.

== مثال‌های ریاضی توابع دوسویی و توابع غیر دوسویی ==

* تابع ''f'': '''R''' → '''R''', ''f''(''x'') = 2''x'' + 1۱ دوسویی است چون برای هر ''y'' یک ''x'' = (''y'' − 1۱)/2۲ وجود دارد. به طور کلی تمام توابع خطی به شکل ''f''(''x'') = ''ax'' + ''b'' روی اعداد حقیقی دوسویی هستند اگر ''a'' مخالف صفر باشد. چون برای هر ''y'' وجود دارد یک ''x'' = (''y'' - ''b'')/''a'' .

* تابع (''f'': ''R'' → (-π/2۲, π/2), ''f''(''x'') = arctan(''x'' دوسویی هست چون هر ''x'' دقیقادقیقاً با یک زاویه مثل ''y'' در بازه‌یبازهٔ (π/2۲, π/2۲-) جفت می‌شود به طوری که (''y'' = arctan(''x'' به عبارت دیگر معادله‌ی معادلهٔ

(''x'' = tan ( ''y'' در بازه مذکور دقیقاً یک جواب دارد.

* [[تابع نمایی]] ''g'': '''R''' → '''R''', ''g''(''x'') = e^''x'' دو سویی نیست. چون مثلامثلاً هیچ ''x'' ای وجود ندارد که ''g''(''x'')=-1۱ پس این تابع پوشا نیست.نیست؛ ولی اگر هم‌دامنه را به اعداد مثبت محدود کنیم این تابع پوشا و در نتیجه دوسویی می‌شود و وارون این تابع [[لگاریتم طبیعی]] نام دارد.

* تابع ''h'': '''R''' → '''R'''⁺, ''h''(''x'') = ''x''²دوسویی نیست چون یک‌به‌یک نیست مثلامثلاً ''h''(−1−۱) = ''h''(1) = 1۱ ولی اگر دامنه آن را به اعداد مثبت محدود کنیم یک‌به‌یک و در نتیجه دوسویی می‌شود و تابع [[جذر]] معکوسش است.

== معکوس ==

یک تناظر یک‌به‌یک ''f'' با دامنه‌یدامنهٔ ''X'' ( به عبارت دیگر ''f'': ''X → Y'') یک [[رابطه دوتایی|رابطه]] را هم از ''Y'' به ''X'' تعریف می‌کند. به دلیل خواص (۳) و (۴) تعریف تابع دوسویی این رابطه یک تابع با دامنه ''Y'' هست و به دلیل خواص (۱) و (۲) تعریف این تابع پوشا و یک‌به‌یک هست. پس معکوس تابع دوسویی وجود دارد و دوسویی است.

توابعی که معکوس دارند معکوس‌پذیر نامیده می‌شوند. تابع معکوس‌پذیر است اگر و فقط اگر دوسویی باشد.

به ازای هر ''y'' عضو ''Y'' وجود دارد

''x'' منحصر به فرد عضو ''X'' که

با توجه به مثال معلم و دانش‌آموزان اگر تابع را به این صورت تعریف کنیم که نام دانش‌آموز را به عنوان ورودی بگیرد و شماره‌یشمارهٔ صندلی او را به عنوان خروجی بدهد چون دوسویی است معکوس دارد.دارد؛ و معکوس آن تابعی است که شماره‌یشمارهٔ صندلی ورودی آن و نام دانش‌آموز خروجی آن است. این تابع هم دوسویی است.

== ترکیب ==
[[ترکیب تابع|ترکیب]] دو تابع دوسویی ''f''و''g''

<math>\scriptstyle g \,\circ\, f</math> یک تابع دوسویی است. معکوس <math>\scriptstyle g \,\circ\, f</math> می‌شود

[[پرونده:Bijective composition.svg|۳۰۰px|بندانگشتی|چپ|یک تابع دوسویی که از ترکیب تابع یک‌به‌یک (سمت چپ) و یک تابع پوشا (سمت راست) به دست می آیدمی‌آید.]]

اگر ترکیب دو تابع <math>\scriptstyle g \,\circ\, f</math> تابع دوسویی باشد می توانمی‌توان نتیجه‌گرفت: ''f'' [[تابع یک‌به‌یک]] و ''g'' [[تابع پوشا]] است.

== تناظرهای یک‌به‌یک و کاردینالیتی ==

اگر ''X'' و ''Y'' مجموعه‌های متناهی باشند میان ''X'' و ''Y'' تناظر یک‌به‌یک وجود دارد اگر و فقط اگر تعداد اعضای آن‌ها برابر باشد. در واقع در [[نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها]] این به عنوان تعریف برابری تعداد اعضا استفاده شده‌است( [[بنداشت گسترش]] ) یا ([[[http://en.wikipedia.org/wiki/Equinumerosity equinumerosity]]]) ، تعمیم این به [[مجموعه نامتناهی|مجموعه‌های نامتناهی]] باعث به‌وجود‌آمدنبه‌وجودآمدن مفهوم [[اعداد کاردینال]] می‌شود که روشی برای بررسی بی‌نهایت‌ها با اندازه‌های مختلف هستند.

* برای یک مجموعه مانند ''X'' ، مجموعه‌یمجموعهٔ تمام تناظرها از ''X'' به خودش همراه با عملگر ترکیب توابع یک [[گروه (ریاضی)|گروه]] را می‌سازد که نام آن گروه سیمتریک آن مجموعه است.است؛ و با نماد‌هاینمادهای S(''X''), ''S_X'' و !''X''([[فاکتوریل]]) نشان داده‌می‌شود.

* اگر ''X'' و ''Y'' مجموعه‌های متناهی با تعداد اعضای برابر باشند و ''f'': ''X → Y'' در این صورت گزاره‌های زیر هم ارزند:

==تناظر‌های تناظرهای یک‌به‌یک و نظریه رده‌ها ==

در [[نظریه رده‌ها|رده]] از مجموعه‌ها تناظر‌هایتناظرهای یک‌به‌یک دقیقادقیقاً [[یک‌ریختی|یک‌ریختی‌ها]] هستند. اگرچه برای رده‌های پیچیده‌تر تناظرهای یک‌به‌یک همواره یک‌ریختی نیستند.