بسط دوجمله‌ای: تفاوت میان نسخه‌ها

'''بسط دو جمله ای''' ( به انگلیسی: Binomial theorem or binomial expansion) در [[ریاضیات]] [[فرمول|فرمولی]] برای محاسبهٔ [[توان|توانهای]] دو جمله‌ای است مثلاً برای ۲ ≤ ''n'' ≤ ۵

:<math>(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\,</math>

:<math>(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\,</math>

:<math>(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4\,</math>

:<math>(x + y)^5 = x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 +5xy^4 + y^5\,</math>

هدف این است که فرمولی برای <math>x+y)^n)</math> که در آن n [[عدد طبیعی]] است بدست آوریم. در این جا قضیه دو جمله‌ای را بیان و ثابت می کنیم.

 

 

اگر n عدد طبیعی باشد، انگاه

:<math>(x+y)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\quad\quad\quad(1)</math>

که :<math>{n \choose k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}</math> [[ضریب ثابت دو جمله ای]] است و ''!n'' [[فاکتوریل]] n را بیان می‌کند. این فرمول و ارایش مثلثی ضرایب ثابت دو جمله‌ای که به [[مثلث پاسکال]] نسبت داده می‌شود (کسی که در [[قرن هفدهم]] انها را توصیف کرده اما اینها توسط ریاضیدانان زیادی زودتر از او کشف شده بود در قرن یازدهم توسط [[عمر خیام]] ریاضیدان ایرانی، در قرن سیزدهم توسط [[یانگ هو]] ریاضیدان چینی )

 

== اثبات ==

یک روش روش برای اثبات قضیه دو جمله ای، [[استقرای ریاضی]] است وقتی که ''n'' = 0 است ما داریم

:<math> (a+b)^0 = 1 = \sum_{k=0}^0 { 0 \choose k } a^{0-k}b^k.</math>

 

برای گام استقرا فرض می کنیم که قضیه برای m درست، انگاه ''n''&nbsp;=&nbsp;''m''&nbsp;+&nbsp;1

:<math> (a+b)^{m+1} = a(a+b)^m + b(a+b)^m \,</math>

 

 

::<math> = \sum_{k=0}^{m+1} { m+1 \choose k } a^{m+1-k}b^k</math>

=== اعداد دو جمله‌ای ===

یک عدد از فرم <math>\scriptstyle x^n \,\pm\, y^n</math>بدست می اید یک عدد دو جمله‌ای است که n نا منفی یا فرد است وقتی که n منفی یا فرد است می‌توان از این اعداد فاکتورگیری کرد

 

برای مثال:

:<math>(x+y)^{10} \,</math>

 

عبارت اول :<math>x^{10} \,</math>

 

به همین شکل ضریب ثابت بعدی 10×9/2×1 به همین روش ادامه می دهیم تا اینکه توان y برابر 10 و توان x برابر صفر شود

:<math>x^{10}+10x^9y+45x^8y^2+120x^7y^3+210x^6y^4+252x^5y^5+210x^4y^6+120x^3y^7+45x^2y^8+10xy^9+y^{10} .</math>

 

ظاهراً عبارت بعدی، عبارت :<math>kx^my^n \,</math>در دو جمله ایها برابراست با

:<math>\frac{km}{n+1}x^{m-1}y^{n+1}=\frac{d}{dx}\left( \int kx^my^n\,dy\right)</math>

 

== پیوند به بیرون ==