روش مونته‌کارلو: تفاوت میان نسخه‌ها

[[پرونده:Monte carlo method.svg|بندانگشتی|چپ|روش مونته کارلو را می‌توان به بازی [[نبرد کشتی ها|نبرد کشتی‌ها]] تشبیه کرد. ابتدا یکی از بازیکنان شلیک‌های تصادفی را انجام می‌دهد. سپس بازیکن از الگوریتم استفاده می‌کند (مثلاً یک کشتی جنگی به فاصله چهار خانه در جهت عمودی یا افقی قرار گرفته‌است). در نهایت بر اساس خروجی نمونه‌های تصادفی و الگوریتم، بازیگر می‌تواند محل هایمحل‌های احتمالی کشتی‌های جنگی بازیکن مقابل را حدس بزند]]

از طرف دیگر روش مونت کارلو یک طبقه از الگوریتم‌های محاسبه گر می‌باشند که برای محاسبه نتایج خود بر نمونه گیری‌های تکرار شونده یشوندهٔ تصادفی اتکاء می‌کنند. روش‌های مونته کارلو اغلب زمان انجام شبیه سازیشبیه‌سازی یک سامانه ریاضیاتی یا فیزیکی می‌شوند استفاده می‌شوند. به دلیل اتکای آنها بر محاسبات تکراری و اعداد تصادفی یا تصادفی کاذب، روشهای مونته کارو اغلب به گونه‌ای تنظیم می‌شوند که توسط رایانه اجرا شوند. گرایش به استفاده از روش‌های مونته کارلو زمانی بیشتر می‌شود که محاسبه پاسخ دقیق با کمک الگوریتم‌های قطعی ناممکن یا ناموجه باشد..<ref>Douglas Hubbard «How to Measure Anything: Finding the Value of Intangibles in Business» pg. ۴۶46, John Wiley & Sons, ۲۰۰۷2007</ref> روش‌های شبیه سازیشبیه‌سازی مونته کارلو مخصوصامخصوصاً در مطالعه سیستمهایی که در آن تعداد زیادی متغیر با درجه آزادی‌های دو به دو مرتبط وجود دارد مفید است، از جمله این سیستمها می‌توان به سیالات، جامداتی که به شدت کوپل شده‌اند، مواد بی نظم و ساختارهای سلولی (مدل سلولی پاتز – Potts- را ببیند) اشاره نمود. از آن گذشته، روشهای مونته کارلو برای شبیه سازیشبیه‌سازی پدیده‌هایی که عدم قطعیت زیادی در ورودی‌های آنها وجود دارد نیز مفید هستند، مثلاً محاسبه ریسک در تجارت. همچنین این روش‌ها به طور گسترده‌ای در ریاضیات مورد استفاده قرار می‌گیرند: یک نمونه استفاده سنتی کاربرد این روشها در برآورد انتگرال‌های معین است، به خصوص انتگرال‌های چند بعدی با محدوده‌های مرزی پیچیده. واژه مونته کارلو در دهه [[۱۹۴۰ (میلادی)|۱۹۴۰]] (دهه [[۱۳۱۰]] شمسی) به وسیله فیزیکدانانی که روی پروژه ساخت یک سلاح اتمی در آزمایشگاه ملی لوس آلاموس آمریکا کار می‌کردند رایج شده‌است..<ref> [The beginning of the Monte Carlo method http://library.lanl.gov/la-pubs/00326866.pdf]</ref>

نام '''روش مونت کارلو''' توسط تحقیقات فیزیکدانانی چون [[استنی‌سواف اولام]]، [[انریکو فرمی]] و [[جان فون نیومن]] شهرت فراوان یافت. این اسم مبداییمبدأیی به یک [[کازینو]] ای در [[موناکو]] است که عموی اولام برای قمار پول قرض می‌کرده‌است. [[تصادفی]] بودن و تکرار طبیعی فرایندها مشابه فعالیت‌های در کازینوها است.

روش مونت کارلو را میتوانمی‌توان برای بسیاری از محاسبات مهندسیمهندسی، ، مخصوصامخصوصاً در بخش برق و تخمین هایتخمین‌های آن استفاده نمود.

[[پرونده:Pi 30K.gif|بندانگشتی|چپ|روش مونت کارلو برای تخمین [[عدد پی]] ]]

# یک مربع روی صفحه ترسیم کنید، سپس یک دایره را درون آن [[شکل محاط|محاط کنید]]. در ادامه چندین شکل با اندازه یکسان را روی آن [[توزیع یکنواخت(پیوسته)|به طور یکنواختپخش]] کنید (برای مثال، دانه‌های شن یا برنج) در سرتاسر مربع.

# نسبت اشیاء درون دایره در مقابل اشیاء درون مربع تقریباً برابر خواهد بود با ۴/π، که همان نسبت سطح دایره‌است به سطح مربع.مربع؛ بنابراین شما تخمینی از عدد π را به دست آورده‌اید. توجه داشته باشید که چگونه تخمین عدد π از یک الگوی مشخص شده در روش مونته کارلو پیروی می‌کند.

* همگرایی تدریجی به سمت تخمین‌های بهتر در زمانی که داده‌های بیشتری شبیه سازیشبیه‌سازی می‌شوند.

== کاربرد هاکاربردها ==

شبیه سازیشبیه‌سازی مونت کارلو به طور ویژه‌ای در مطالعهٔ [[سیستم|سیستم‌ها]] با [[درجه آزادی]] زوج متعدد مورد استفاده قرار می‌گیرد مثل [[مایع|مایعات]]، [[مواد متخلخل]]، [[مایعات شدیداً زوج]] و [[ساختارهای حفره دار]] (مانند [[ساختار حفره دار پات]]). روش‌های مونت کارلو به صورت وسیعی در مدل سازی پدیده‌ها با مقادیر قابل توجهی عدم اطمینان در ورودی‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرد مثل:

محاسبهٔ [[ریسک]] در تجارت (نمونه کاربرد آن در [[اقتصاد]]، مدل سازی تصادفی است) استفادهٔ [[کلاسیک]] از این روش‌ها برای ارزیابی و محاسبهٔ [[انتگرال‌های معین]]، به طور خاص برای [[انتگرال‌های چند بعدی]] باشد با [[شرایط مرزی]] پیچیده، استفاده می‌شود.

مونت کارلو علاوه بر این، تحت تاثیرتأثیر بسزای خود را در حل [[معادله دیفرانسیل|معادله دیفرانسیل‌های]] زوج انتگرالی در زمینهٔ [[تشعشع]] و [[انتقال انرژی]] ثابت کرده‌است پس بنا براین این روش برای [[آشکار سازی جهانی]] محاسبات که مدل‌های مجازی سه بعدی تصاویر [[فوتوریالیستیک]] را تولید می‌کند، مورد استفاده قرار می‌گیرد.

* عدم قطعیت در سیستم هایسیستم‌های قدرت

* در شبیه سازیشبیه‌سازی پیچش برای پیش بینی ساختار [[پروتین]]

* در طراحی احتمالاتی برای شبیه سازیشبیه‌سازی و درک [[تغییرپذیری]]

* در شیمی فیزیک، به طور خاص برای شبیه سازیشبیه‌سازی [[قالب‌های اتمهای درگیر]]

کاربرد روش مونت-کارلو در ریاضیات و آمار بسیار گسترده‌است. با استفاده از این روش، با انتخاب تصادفی یک یا تعداد محدودی پاسخ از میان پاسخهای موجود، تلاش می‌شود تا به راه حل قابل قبولی دست یافت. این تکنیک زمانی ارزش پیدا می‌کند، که مجموعه آلترناتیوهای موجود برای پاسخ یک مسالهمسئله بسیار بزرگ باشد و عملاً امکان آزمودن تمامی آنها وجود نداشته باشد؛ یک نمونه کلاسیک در این زمینه، [[الگوریتم رابین]] برای تست اول بودن یک عدد می‌باشد. الگوریتم رابین بیان می‌دارد که با داشتن یک عدد مانند n که غیر اول است، یک عدد تصادفی مانند x، دارای احتمال ۷۵٪ است تا ثابت کند عدد n عددی غیر اول است.است؛ بنابراین، با داشتن عدد غیر اولی مانند n اگر عددی تصادفی مانند x یافت شود، بطوری که ثابت کند n احتمالاً عددی اول است، ما موفق به آزمودن گزینه‌هایی شده‌ایم که احتمال رخداد آنها ۱ به ۴ است. حال با یافتن ۱۰ عدد دیگر مانند x که ثابت کند n احتمالاً عددی اول است، موفق به یافتن مجموعه‌ای شده‌ایم که احتمال وقوع آنها ۱ به میلیون است. [[الگوریتم لاس وگاس]] نیز از روش مونت-کارلو بهره می‌برد. یکی از رایج ترینرایج‌ترین کاربرد مونت کارلو، [[انتگرال گیری]] مونت کارلو است.

روش‌های قطعی انتگرال گیری عددی به وسیله دریافت عدد نمونه‌های فاصله دار یکنواخت از یک تابع است. به طور کلی، این روش برای توابع یک متغیری بسیار خوب جواب می‌دهد. در حالی که برای تابعی از بردارها، [[روش‌های تربیع قطعی]] بی تاثیراند. ه (مثلاً برای محاسبه‌یمحاسبهٔ انتگرال 2X اعداد تصادفی تولید شده توسط توابع گاوس را در صفحه‌ای مشخص می‌ریزد و با استفاده از نسبت نقاط داخل و خارج تابع مساحت محاسبه می‌شود)

برای نمونه یک صفحهٔ ۱۰x۱۰ نیاز به ۱۰۰ نقطه دارد. اگر بردار ما ۱۰۰ بعدی باشد، تقسیم بندیتقسیم‌بندی مورد نیاز روی صفحه، نیاز به {{چپ‌چین}}[[گوگول|۱۰^۱۰۰]]{{پایان چپ‌چین}}(عدد گوگول) نقطه دارد که برای محاسبه بسیار بزرگ است.

تا زمانی که تابع مورد سوالسؤال یک تابع خوش رفتار است، به وسیله انتخاب تصادفی نقاط در فضای ۱۰۰ بعدی و گرفتن نوعی [[میانگین]] از مقادیر تابع در این نقاط، می‌تواند تخمین زده شود. با به کار گیری [[قانون اعداد بزرگ]]، این روش [[همگرایی]] به <math>1/\sqrt{N}</math> را نشان می‌دهد.

==== روش‌های انتگرال گیری: ====

** [[نمونه برداری با اهمیت]]

** [[نمونه برداری طبقه به طبقه]]

** [[نمونه برداری طبقه به طبقه بازگشتی|نمونه برداری طبقه به طبقهٔ بازگشتی]]

** [[الگوریتم وگاس]]

** [[الگوریتم متروپولیس-هاستینگ]]

هدف اصلی روش مونت کارلو یا دینامیک مولکولی محاسبه خواص تعادلی یک سیستم است. در این روش پس از حصول اطمینان از بودن در حالت تعادل، با تغییر تصادفی موقعیت و جهت گیری ذرات موجود در سیستم، پیکربندی‌هایی از سیستم تولید می‌شود. منظور از پیکربندی مجموعه‌ای از موقعیت و جهت گیری همهٔ ذرات در یک حالت از تمام حالت‌های ممکن سیستم است. پیکربندی تولید شده در هر مرحله با احتمالی که توسط قوانین ترمودینامیک آماری تعیین می‌گردد، رد یا تأیید می‌شود. این احتمال به انرژی پتانسیل بین دو ذره بستگی دارد. در هر پیکربندی خاصیت ترمودینامیکی مورد نظر اندازه گیریاندازه‌گیری می‌شود. با نمونه برداری صحیح از این پیکربندی‌ها و میانگین گیری، می‌توان مفدار آن خاصیت را در حال تعادل به دست آورد.<ref>شبیه سازی‌هایشبیه‌سازی‌های رایانه‌ای، سیف الله جلیلی ISBN ۹۷۸978-۹۶۴964-۸۷۰۳8703-۳۹39-۹9</ref>

یکی از مهمترین کاربردهای روش مونت-کارلو، حل معادله موسوم به [[بلک-اسکولس]] در مورد مدل سازی بازار سهام دارای نرخهای تصادفی است. حل این معادله منجر به ساخت یک مدل [[شبیه سازیشبیه‌سازی]] شده اقتصادی می‌گردد. این مدل اقتصادی برای پیش‌بینی تغییرات در یک بازار بورس مورد استفاده قرار می‌گیرد.

* Arnaud Doucet, Nando de Freitas and Neil Gordon, ''Sequential Monte Carlo methods in practice'', [[۲۰۰۱2001]], ISBN ۰-۳۸۷-۹۵۱۴۶-۶۰–۳۸۷–۹۵۱۴۶–۶.

* P. Kevin MacKeown, ''Stochastic Simulation in Physics'', [[۱۹۹۷1997]], ISBN ۹۸۱-۳۰۸۳-۲۶-۳۹۸۱–۳۰۸۳–۲۶–۳

* Harvey Gould & Jan Tobochnik, ''An Introduction to Computer Simulation Methods, Part ۲، Applications to Physical Systems'', [[۱۹۸۸1988]], ISBN ۰0-۲۰۱201-۱۶۵۰۴16504-X

* C.P. Robert and G. Casella. «Monte Carlo Statistical Methods» (second edition). New York: Springer-Verlag, [[۲۰۰۴2004]], ISBN ۰-۳۸۷-۲۱۲۳۹-۶۰–۳۸۷–۲۱۲۳۹–۶

* Nicholas Metropolis, Arianna W. Rosenbluth, Marshall N. Rosenbluth, Augusta H. Teller and Edward Teller, «Equation of State Calculations by Fast Computing Machines» , Journal of Chemical Physics, volume ۲۱، p. ۱۰۸۷ (۱۹۵۳) ({{DOI|۱۰٫۱۰۶۳/۱٫۱۶۹۹۱۱۴}})

* N. Metropolis and S. Ulam, «The Monte Carlo Method» , Journal of the American Statistical Association, volume ۴۴، number ۲۴۷، pp. ۳۳۵–۳۴۱ (۱۹۴۹) ({{DOI|۱۰٫۲۳۰۷/۲۲۸۰۲۳۲}})

* Fishman, G.S. , (۱۹۹۵1995) ''Monte Carlo: Concepts, Algorithms, and Applications'', Springer Verlag, New York.

* R. E. Caflisch, ''Monte Carlo and quasi-Monte Carlo methods'', Acta Numerica vol. ۷، Cambridge University Press, ۱۹۹۸، pp. ۱1-۴۹49. [http://books.google.com/books?id=g-j-Pz1zjkwC]