تابع چگالی احتمال: تفاوت میان نسخه‌ها

می‌توان بعضی از متغیرهای تصادفی گسسته را نیز با استفاده از تابع چگالی احتمالی توصیف کرد. به طور مثال برای متغیر تصادفی که دو مقدار ۱ و -۱ را هر کدام با احتمال ۱/۲ می‌گیرد، می‌توان چگالی احتمال زیر را نسبت داد

:<math>f(t) = \frac{1}{2}(\delta(t+1)+\delta(t-1)).</math>

:<math>f(t) = \sum_{i=1}^np_i\, \delta(t-x_i),</math>

که مقادیر ''x''₁, …, ''x_n'' مقادیری هستند که متغیر تصادفی ''X'' با احتمال ''p''₁, …, ''p_n'' اختیار می‌کند..

= \int_D f_{X_1,\dots,X_N}(x_1,\ldots,x_N)\,dx_1 \cdots dx_N.</math>

 

 

: <math>

:<math>f_{X_1,\dots,X_n}(x_1,\ldots,x_n) = f_1(x_1)\cdots f_n(x_n),</math>

 

 

:<math>f_{X_i}(x_i) = \frac{f_i(x_i)}{\int f_i(x)\,dx}.</math>

اگر تابع چگالی احتمال متغیر تصادفی X به صورت ''(f_X''(''x'' داده شده باشد، می‌توان (ولی معمولاً غیر ضروری است، زیر را مشاهده کنید) تابع چگالی احتمال متغیری مانند ({{nowrap|''Y {{=}} g''(''X''}} را محاسبه کرد. به این کار «تغییر متغیر» می‌گویند و در عمل برای تولید متغیر تصادفی با شکل دلخواه {{nowrap|''f''_''g''(''X'') {{=}} ''f_Y''}} با استفاده از مولد عدد تصادفی شناخته شده (برای مثال یکنواخت)، مورد استفاده قرار می‌گیرد.

 

 

: <math>f_Y(y) = \left| \frac{1}{g'(g^{-1}(y))} \right| \cdot f_X(g^{-1}(y)).</math>

که در آن (''n''(''y'' تعداد جواب‌های "x" برای رابطه {{nowrap|''g''(''x'') {{=}} ''y''}} و (''g''⁻¹_''k''(''y''‌ها همان جواب‌ها هستند.

 

 

:<math> E(g(X)) = \int_{-\infty}^\infty y f_{g(X)}(y)\,dy, </math>

:<math> \int\limits_{y = g(x_0, x_1, \dots, x_{m-1})} \frac{f(x_0, x_1,\dots, x_{m-1})}{\sqrt{\sum_{j=0}^{j<m}} (\frac{\partial g}{\partial x_j}(x_0, x_1, \dots , x_{m-1}))^2} \; dV</math>

 

 

شاید بصری به نظر برسد، ولی این ناشی از مطلب زیر است: فرض کنید ''''x'''' یک متغیر تصادفی n-بعدی با تابع چگالی احتمال f است. اگر {{nowrap|'''''y''''' {{=}} ''H''('''''x''''')}} و ''H'' تابعی [[دوسویه]] و [[تشخیص پذیر]] باشد، ''y'' دارای چگالی احتمال ''g'' است: