نظریه مجموعه‌ها: تفاوت میان نسخه‌ها

[[پرونده: Venn A intersect B.svg | بندانگشتی| یک [[نمودار ون]] که [[اشتراک]] دو [[مجموعه]] را نشان می‌دهد.]]

مطالعه جدید بر روی نظریه مجموعه‌ها توسط [[جورج کانتور]] و [[ریچارد ددکیند]] در دهه ۷۰ قرن ۱۸ میلادی شروع شد. بعد از کشف [[تناقض‌های نظریه مجموعه ها| تناقض‌ها]]ی [[نظریه طبیعی مجموعه‌ها]]، [[دستگاه‌های بنداشتی]] بی شماری در اوایل قرن ۲۰ مطرح شدند که معروف‌ترین آن‌ها [[اصل موضوعه زرملو-فرانکل]] و [[اصل موضوعه]] انتخاب هستند.

نظریه مجموعه‌ها عموماً به عنوان [[سیستم بنیادین ریاضیات]] در شکل [[نظریه مجموعه‌های زرمو-فرانکل]] همراه با [[اصل موضوعه انتخاب]] به کار می‌رود. ورای نقش بنیادینش، نظریه مجموعه‌ها در جایگاه خود یکی از شاخه‌های [[ریاضی]] با جامعه پژوهش فعالی محسوب می‌شود. پژوهش‌های معاصر در نظریه مجموعه‌ها موضوع‌های متنوعی را شامل می‌شود که از ساختار خط [[اعداد حقیقی]] تا مطالعه [[سازگاری]] [[اعداد بزرگ]] متغیر است.

کار کانتور به دو قطبی شدن ریاضیدانان آن زمان انجامید. در حالی [[کارل وایرشتراس]] و ددکیند از کانتور حمایت می‌کردند، [[لئوپولد کرونکر]]، که امروزه به عنوان بنیان‌گذار [[ریاضیات برساخت گرایی]] از او یاد می‌شود، حمایت نمی‌کرد. نظریه اعداد کانتور سرانجام به علت کاربرد مفاهیم کانتوری مانند [[تناظرات یک به یک]] بین مجموعه‌ها، اثباتش مبنی بر اینکه تعداد [[اعداد حقیقی]] بیشتر از اعداد صحیح است، و "بی‌نهایت بودن بی‌نهایت ها" ("[[بهشت کانتور]]") مبتنی بر عملکرد [[مجموعه توانی]] متداول گشت. کاربرد نظریه مجموعه‌ها منجر به ارائه مقاله "Mengenlehre" در سال ۱۸۹۸ از جانب [[آرتور شونفلایس]] به [[دائرةالمعارف کلین]] شد.

موج جالب توجه بعدی در نظریه مجموعه‌ها حدود ۱۹۰۰ پدیدار شد، وقتی معلوم شد نظریه کانتوری مجموعه‌ها منجر به ایجاد تناقضات بسیاری شد که [[آنتنومی]]ها یا [[پارادوکس]]‌ها خوانده می‌شوند. [[برتراند راسل]] و [[ارنست زلمو]] به طور جدا ساده‌ترین و معروف‌ترین پارادوکس را که امروزه [[پاراردوکس راسل]] خوانده می‌شود پیدا کردند: "مجموعه تمام مجموعه‌هایی را که عضو خودشان نیستند" را در نظر بگیرید، که منجر به این تناقض می‌شود که باید عضو خودش باشد و عضو خودش نباشد. در ۱۸۹۹ کانتور خودش را در معرض این سؤال قرار داد: "[[کاردینال]] مجموعه تمام مجموعه‌ها چقدر است؟"، و به تناقض مرتبطی رسید. راسل از پارادوکس خود در سال ۱۹۰۳ به عنوان زمینه خلاصه ریاضیات قاره‌ای در "[[اصول ریاضیات]]"ش استفاده کرد.

 

== مفاهیم و نمادهای اصلی ==

{{اصلی| مجموعه‌ها (ریاضیات)| جبر مجموعه ها}}

یک [[رابطه دودویی]] برگرفته بین مجموعه‌ها رابطه زیرمجموعه‌ای است، که '''شمول مجموعه''' نیز نامیده می‌شود. اگر همه اعضای {{math|''A''}} اعضای {{math|''B''}} نیز باشند، {{math|''A''}} زیر مجموعه {{math|''B''}} است، که {{math|''A'' ⊆ ''B''}} نمادگذاری می‌شود. برای مثال، {{math|{۱٬۲}}} یک زیر مجموعه {{math|{۱٬۲٬۳}}} است. اما {{math|{۱٬۴}}} نیست. با این تعریف، واضح است که هر مجموعه زیر مجموعه خودش است؛ در صورتی که نخواهیم این مورد را به حساب بیاوریم، عبارت [['''زیرمجموعه سره''']] تعریف شده است. {{math|''A''}} '''زیر مجموعه سره''' {{math|''B''}} است اگر و فقط اگر {{math|''A''}} زیر مجموعه {{math|''B''}} باشد ولی {{math|''B''}} زیر مجموعه {{math|''A''}} '''نباشد'''.

همانند [[حسابان]] که [[عملیات دودویی]] را روی [[اعداد]] پیاده‌سازی می‌کند، نظریه مجموعه‌ها نیز عملیات دودویی را روی مجموعه‌ها اعمال می‌کند.