ویکی‌پدیا

قانون اعداد بزرگ: تفاوت میان نسخه‌ها

نمایش تاریخچه به صورت تعاملی
→ تفاوت قدیمی‌ترتفاوت جدیدتر ←
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
دیداریویکی‌متن
جز ←‏جایگزینی با [[وپ:اشتباه|اشتباه‌یاب]]: اعدد⟸اعداد، تدریجأ⟸تدریجا، میابیم⟸می یابیم
خط ۴:
 
'''قانون اعداد بزرگ''' احتمالاً معروفترین نتیجه در [[نظریه احتمالات|نظریهٔ احتمالات]] است که برای توصیف نتیجهٔ تکرار یک آزمایش به دفعات زیاد به کار می‌رود. بر طبق این قانون هر قدر تعداد دفعات تکرار آزمایش بیشتر شود، [[میانگین]] نتایج به [[امید ریاضی]] آن نزدیک‌تر می‌شود.<ref>
Introduction to Probability Models,Sheldon M.Ross,tenth edition</ref>
</ref>
 
به عنوان یک مثال، وقتی یک [[تاس]] شش‌وجهی را یک بار بریزیم، یکی از عددهای ۱، ۲، ۳، ۴، ۵ یا ۶ به دست خواهد آمد. اگر این آزمایش را تکرار کنیم، هر دفعه یکی از این اعداد به دست می‌آیند و اگر تاس [[نااریب]] باشد، احتمال دیده شدن این اعداد با هم برابر است. در نتیجه امید ریاضی عددی که با ریختن هر بار تاس به دست می‌آید طبق این فرمول:
سطر ۱۱ ⟵ ۱۰:
: <math> \tfrac {1+2+3+4+5+6}{6} = 3.5.</math>
 
برابر با ۳٫۵ است. طبق قانون اعداد بزرگ، هرگاه آزمایش ریختن تاس را به دفعات زیاد تکرار کنیم، میانگین اعدادی که به دست می‌آید تدریجاتدریجاً به ۳٫۵ نزدیک خواهد شد.<ref>
http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Law_of_large_numbers&oldid=437185925</ref>▼
به طور مثال می‌توان به [[آزمایش پرتاب سکه]] اشاره کرد.همانطور همان‌طور که میدانیممی‌دانیم نتیجه این آزمایش [[توزیع برنولی]] دارد. .اگر فقط یک بار آزمایش را انجام دهیم احتمال رو آمدن سکه برابر ۱/۲ است، طبق قانون اعداد بزرگ اگر تعداد پرتاب هاپرتاب‌ها زیاد باشد نسبت تعداد رو آمدن هاآمدن‌ها به تعداد کل پرتاب هاپرتاب‌ها به ۱/۲ میل میکندمی‌کند<ref>▼
http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Law_of_large_numbers&oldid=437185925</ref>▼
مشخص است که اختلاف تعداد رو هاروها و پشت هاپشت‌ها با زیاد شدن تعداد آزمایش هاآزمایش‌ها افزایش پیدا میکندمی‌کند. .پس احتمال کوچک بودن اختلاف روها و پشت هاپشت‌ها به سمت عدد صفر میل میکندمی‌کند. هم چنین می‌توان نتیجه گرفت که نسبت اختلاف رو هاروها و پشت هاپشت‌ها به تعداد کل پرتاب هاپرتاب‌ها نیز به سمت صفر میروندمی‌روند. .از این حقیقت در می یابیممی‌یابیم که با وجود رشد اختلاف بین تعداد رو هاروها و پشت هاپشت‌ها در انجام این آزمایش به دفعات زیاد، سرعت این رشد از سرعت افزایش تعداد کل پرتابپرتاب‌ها ها کم ترکم‌تر است .<ref>▼
http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Law_of_large_numbers&oldid=437185925</ref>
▲به طور مثال می‌توان به [[آزمایش پرتاب سکه]] اشاره کرد.همانطور که میدانیم نتیجه این آزمایش [[توزیع برنولی]] دارد .اگر فقط یک بار آزمایش را انجام دهیم احتمال رو آمدن سکه برابر ۱/۲ است، طبق قانون اعداد بزرگ اگر تعداد پرتاب ها زیاد باشد نسبت تعداد رو آمدن ها به تعداد کل پرتاب ها به ۱/۲ میل میکند<ref>
▲http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Law_of_large_numbers&oldid=437185925
</ref>
▲مشخص است که اختلاف تعداد رو ها و پشت ها با زیاد شدن تعداد آزمایش ها افزایش پیدا میکند .پس احتمال کوچک بودن اختلاف روها و پشت ها به سمت عدد صفر میل میکند.هم چنین می‌توان نتیجه گرفت که نسبت اختلاف رو ها و پشت ها به تعداد کل پرتاب ها نیز به سمت صفر میروند .از این حقیقت در می یابیم که با وجود رشد اختلاف بین تعداد رو ها و پشت ها در انجام این آزمایش به دفعات زیاد، سرعت این رشد از سرعت افزایش تعداد کل پرتاب ها کم تر است .<ref>
▲http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Law_of_large_numbers&oldid=437185925
</ref>
:میتوان قانون اعداد بزرگ را به صورت خلاصه شده به شکل زیر نوشت:
 
: <math> \lim _{n \to \infty} \tfrac {x_1+x_2+... +x_n}{n} = u </math><ref>
شلدون راس، "مبانی احتمال" مترجمین : دکتر احمد پارسیان و دکتر علی همدانی</ref>
که در آن <math> {x_1} , {x_2} , ... </math> دنباله ایدنباله‌ای از [[متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع یکسان]] و میانگین <math> u </math> هستند.▼
</ref>
 
▲که در آن <math> {x_1} , {x_2} , ... </math> دنباله ای از [[متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع یکسان]] و میانگین <math> u </math> هستند.
== تاریخچه ==
(Gerolamo Cardano (۱۵۰۱-۱۵۷۶۱۵۰۱–۱۵۷۶ [[جیرولامو کاردانو]] [[ریاضی دانریاضی‌دان]] ایتالیایی بدون [[اثبات ریاضی]] بر این باور بود که دقت نتایج تجربی در امار با افزایش تعداد دفعات آزمایش بیشتر میشود می‌شود<ref>Mlodinow, L. ''The Drunkard's Walk.'' New York: Random House, 2008. p. 50.</ref>
این فرضیه بعد هابعدها تحت عنوان قانون اعداد بزرگ اثبات شد و مورد توجه قرار گرفت . حالت خاصی از این قانون برای متغیرهای برنولی برای نخستین بر توسط Jacob Bernoulli [[ژاکوب برنولی]] اثبات شد . <ref>Jakob Bernoulli, ''Ars Conjectandi: Usum & Applicationem Praecedentis Doctrinae in Civilibus, Moralibus & Oeconomicis'', 1713, Chapter 4, (Translated into English by Oscar Sheynin)</ref>
او این قانون را قضیه طلایی نامید، ولی بعد هابعدها با نام قانون اعداد بزرگ مشهور شد . در سال ۱۸۳۵ [[سیمون دنیز پواسون]] Siméon Denis Poisson این قانون را با نام قانون اعداد بزرگ توضیح داد. هم اکنون این قضیه با هر دو نام ذکر شده شناخته میشود می‌شود.<ref>Hacking, Ian. (1983) "19th-century Cracks in the Concept of Determinism"</ref>
بعد از برنولی و پواسون ریاضیدانان دیگری مانند مارکف، چبیشف، بورل و کولموگرف برای بهبود این تعریف و اثبات آن تلاش کردند و در نهایت الکساندر کینچین برای هر [[متغیر تصادفی]] دلخواه آن را اثبات کرد. این تلاشها منجر به پیدایش دو حالت مختلف از این قانون شد .
این دو قسمت عبارت است از قانون ضعیف و قوی.
قانون ضعیف و قوی اعداد بزرگ دو قانون متفاوت نیستند . در بلکه این دو قانون از دو دیدگاه متفاوت موضوع همگرایی احتمال وقتی تعداد دفعات آزمایش زیاد است به مقدار میانگین را توضیح میدهند می‌دهند. همچنین میتوانمی‌توان قانون ضعیف را از قانون قوی نتیجه گرفت. <ref>
http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Probability_theory&action</ref>
</ref>
 
== منابع ==
 
{{پانویس|۲}}
 
== پیوند به بیرون ==
* [//en.wikipedia.org/w/index.php?title=Probability_theory&action]
برگرفته از «https://fa.wikipedia.org/wiki/قانون_اعداد_بزرگ»