فضای توپولوژی: تفاوت میان نسخه‌ها

===تعریف با همسایگی===

فرض کنید ''X'' یک مجموعه باشد. اعضای ''X'' معمولا ''نقاط'' نامیده می‌شوند هرچند که می‌توانند هر شئ ریاضی دیگر باشند. همچنین ''X'' می‌تواند تهی باشد. فرض کنید '''N''' یک [[تابع]] باشد که هر ''x'' (نقطه) از ''X'' را به یک گردایه ناتهی ('''N'''(''x'' از زیرمجموعه‌های ''X'' نسبت دهد. اعضای ('''N'''(''x'' همسایه‌های ''x'' نامیده می‌شود. تابع '''N''' [[همسایگی (توپولوژی)|همسایگی]] نامیده می‌شود اگر از چهار اصل زیر پیروی کند؛ آن‌گاه ''X'' با '''N''' یک '''فضای توپولوژیک''' نامیده می‌شود. فضای توپولوژیکی که در آن نقاط همان توابع باشند،یک فضای تابعی نام دارد.

#[[اشتراک]] هر دو همسایگی از ''x''، خود یک همسایگی از ''x'' باشد.

#هر همسایگی ''N'' از ''x'' شامل همسایگی ''M'' از ''x'' است به طوری که ''N'' یک همسایگی برای هر نقطه از ''M'' باشد.

سه اصل ابتدایی مفهوم روشنی دارند. اصل چهارم استفاده خیلی مهمی در ساختار این تئوری دارد، که همان ارتباط بین همسایگی‌های مختلف یک نقطه است.

مثال استاندارد برای سیستم همسایگی‌ها خط اعداد حقیقی است که در آن زیر مجموعه ''N'' از '''R''' یک ''همسایگی'' از عدد حقیقی ''x'' است، اگر یک بازه‌ی باز وجود داشته باشد که نقطه ''x'' را شامل شود و نیز مشمول ''N'' باشد.

===تعریف با مجموعه‌های باز===

[[پرونده:Topological space examples.svg|frame|چپ|300px|چهار نمونه از توپولوژی روی مجموعه سه تایی {1,2,3} و دو نمونه غیرتوپولوژی روی مجموعه سه تایی {1,2,3}]]