تابع مقدماتی: تفاوت میان نسخه‌ها

در [[ریاضیات]] یک تابع مقدماتی (elementary function )، [[تابع|تابعی]]ی است یک [[متغیر (ریاضی)|متغییره]] که از [[ترکیب تابع|ترکیبی]] از تعداد متناهی [[حساب|عمل های اصلی]] (+ - × ÷) ، [[تابع نمایی|توابع نمایی]]، [[لگاریتم|لگاریتمی]]،ی، [[ضریب|اعداد ثابت]] و [[معادله جبری|جواب‌های معادلات جبری]] (به طور کلی ریشه n ام ) است.

بعضی از توابع مقدماتی مانند ریشه گیری ها، توابع  لگاریتمی و [[توابع معکوس مثلثاتی]] در [[:en:Entire_function|تمام نقاط تعریف نشده اند]] و ممکن است برای [[:en:Multivalued_function|یک مقدار x چند مقدار بدهند]].

* مجموع،  برای مثال <math>x+1</math>

* <math>\dfrac{e^{\tan x}}{1+x^2}\sin\left(\sqrt{1+(\ln x)^2}\right)</math>

* <math>-i\ln(x+i\sqrt{1-x^2})</math>

مثال آخر برایر <math>\arccos x</math>، معکوس کسینوس، در دامنه تمام نقاط مجموعه اعداد مختلط بنابراین یک تابع مقدماتی است.

=== <small>توابع نا مقدماتی</small> ===

این جقیقت که این تابع نامقدماتی است در نگاه اول واضح نیست، اما می توان با الگوریتم ریچی نشان داد.

همچنین مثال های [[:en:Liouvillian_function#Examples|توابع لیویل# مثال ها]]  و [[:en:Nonelementary_integral|انتگرال توابع نا مقدماتی]] را نیز می توانید ببینید.

== جبر دبفرانسیلی ==

تعریف ریاضی یک '''تابع مقدماتی'''، یا یک تابع به صورت مقدماتی، به صورت مفهومی از [[:en:Differential_algebra|جبر دیفرانسیلی]] در نظر گرفته می شود. جبر دبفرانسیلی همان جبر معمولی است با یکسری اعمال اضافی ترِ مشتق ( نسخه جبری از دیفرانسیل ). با استفاده از اعمال مشتق می توان رابطه های جدیدی نوشت که راه حل های آن ها در نسخه های [[:en:Field_extension|تعمیم یافته]] جبر استفاده می شود. با شروع مطالعات روی [[میدان (ریاضی)|میدان]] [[تابع گویا|توابع گویا]] ، (توابعی که صورت و مخرج آن ها چند جمله ای است.) دو نوع مخصوص تعمیم غیر جبری شامل (لگاریتم  و توابع نمایی) را نیز می توان به میدان توابع مقدماتی اضافه کرد.

یک میدان دیفرانسیل ''F'' عضو یک میدان ''F₀'' است (برای مثال توابع گویا در حول تابعی گویا مانند Q) که با نگاشت ''u''&nbsp;→&nbsp;∂''u''عضو می شوند. (بنابراین ''u∂'' یک تابع جدید است. گاهی این عبارت را به صورت ''<nowiki/>'u'' نیز می نویسند.) مشتق، مشخصات دیفرانسیلی یک عبارت را نشان می دهد، بنابراین برای هر دو عبارتِ این میدان، مشتق، خطی است:

<math>\partial (u + v) = \partial u + \partial v</math>

یک عبارت مانند ''h'' ثابت است اگر ''h=0∂'' باشد. اگر میدان پایه در اطراف توابع گویا باشد، باید در زمان تعمیم دادن این مطلب مراقب بود که ثابت های متعالی(غیر جبری) را هم اضافه کرد.

یک تابع مانند ''u'' از یک تعمیم دیفرانسیل مانند ''[0]F''  از میدان دیفرانسیلی ''F''  یک تابع ینیادی است در طول ''F'' اگر تابع ''u''