مجموعه بسته: تفاوت میان نسخه‌ها

 

== تعاریف معادل برای مجموعه بسته ==

 

== ویژگی‌های مجموعه‌های بسته ==

یک مجموعه بسته دارای نقاط مرزی خود می‌باشد. به عبارت دیگر اگر بیرون از یک مجموعه بسته باشید و به مقدار کوچکی به هر طرف حرکت کنید، باز هم خارج از مجموعه قرار می‌گیرید. توجه کنید که اگر مرز مجموعه، [[مجموعه تهی|تهی]] نیز باشد این مسئله باز هم برقرار خواهد بود، برای مثال، [[اعداد گویا|اعداد گویایی]] که مربع آن‌ها از ۲ کم‌تر باشد.{{سخ}}

[[مجموعه تهی]] و تمام فضا بسته هستند. در حقیقت در مجموعه ''X'' و گردایه ''F'' از زیرمجموعه‌های آن که این ویژگی‌ها را دارند، ''F'' یک گردایه‌ای از مجموعه‌های بسته برای توپولوژی یکتایی روی مجموعه ''X'' خواهد بود. همچنین خاصیت اشتراک پذیری این امکان را به ما می‌دهد که بتوانیم بستار مجموعه ''A'' را در فضای ''X'' به صورت کوچکترین زیرمجموعه بسته ''X'' که شامل ''A'' باشد، تعریف کنیم. همین‌طور بستار یک مجموعه می‌تواند از اشتراک تمام مجموعه‌های شامل آن مجموعه نیز به دست آید.{{سخ}}

مجموعه‌هایی که از اجتماع تعداد [[شمارا]] مجموعه بسته ساخته می‌شوند، لزوما بسته هستند.

 

== مثال‌هایی از مجموعه‌های بسته ==

* بعضی مجموعه‌ها نه باز هستند و نه بسته، برای مثال مجموعه نیمه بستهٔ [''۱''، ''۰'').

* بعضی مجموعه‌ها هم باز و هم بسته‌اند، که مجموعه‌های بست-باز نامیده می‌شوند.

* [[مجموعه کانتور]] یک مجموعه بسته غیرعادی است از این جهت که شامل تمام نقاط مرزی است و در هیچ‌جا متراکم نیست.

* مجموعه‌های تک عضوی (و در نتیجه مجموعه‌های متناهی) در فضاهای هاستروف بسته هستند.

 

== اطلاعات بیشتری از مجموعه‌های بسته ==

مفهوم مجموعه بسته تحت تعریف [[مجموعه باز]] تعریف می‌شود. یک مفهوم که درکی از [[فضای توپولوژیک]] ایجاد می‌کند و همچنین از فضاهای دیگری که ساختاری توپولوژیک دارند، مانند [[فضای متریک]]، [[فضای یکنواخت]].