|
در [[ریاضیات]] و [[جبر مجرد]]، '''میدان''' به معنای [[ساختار (ریاضی)|ساختاری]] جبری است که در آن چهار عمل [[جمع]]، [[تفریق]]، [[ضرب]]، و [[تقسیم]] (بجز تقسیم بر [[صفر]]) تعریف شده باشد و رفتار-عملکرد آنها مانند عملکرد آنها بر روی [[اعداد حقیقی|اعداد حقیقی]] هستند. این مفهموم در [[جبر|جبر]] و [[نظریه اعداد| نظریه اعداد]] بسیار پرکاربرد است.
[[اعداد حقیقی|اعداد حقیقی]] و [[اعداد گویا|اعداد گویا]] از معروفترین میدان‌ها هستند. [[اعداد مختلط|اعداد مختلط]] هم جزو میدان‌هایی است که نه تنها در [[ریاضیات|ریاضیات]] بلکه در [[علم|علم]] و [[مهندسی|مهندسی]] هم کاربرد بسیاری دارد.
در دنیای ریاضی میدان‌ها نقش بسیاره پایه‌ای ایفا می‌کنند. مهمترین کاربرد آنها در [[جبر|جبر]] است که در آن هر میدان می‌تواند [[کمیت نرده‌ای|کمیت نرده‌ای]] یا [[فضای برداری|فضای برداری]] باشد. (موضوع مورد مطالعه [[جبر خطی|جبر خطی]] است.))
== تعریف ==
به صورت کلی، میدان [[مجموعه|مجموعه]] است همراه با دو تابع تعریف شده بر روی آن مجموعه: تابع جمع که بدین گونه نشان داده می‌شود {{math|''a'' + ''b''}} و تابع ضرب {{math|''a'' ⋅ ''b''}} که هر دوی آنها مشابه انگونه که در اعداد [[اعداد گویا|اعداد گویا]] و [[اعداد حقیقی|اعداد حقیقی]] رفتار می‌کنند. همچنین وجود [[وارون جمعی|وارون جمعی]] {{math|''−a''}} برای هر ''a'' و [[وارون ضربی|وارون ضربی]] ''b''<sup>-1</sup> برای هر ''b'' غیر صفر مارا قادر میسازد تا مفاهیمی چون [[تفریق|تفریق]] {{math|''a'' − ''b''}} و [[تقسیم|تقسیم]] {{math|''a'' / ''b''}} را تعریف کنیم:
:{{math|1=''a'' − ''b'' = ''a'' + (−''b'')}},
:{{math|1=''a'' / ''b'' = ''a'' · ''b''<sup>−1</sup>}}.
=== تعریف کلاسیک ===
بر اساس تعریف کلاسیک میدان [[مجموعه|مجموعه]] است همراه با دو عملگر. [[عملگر|عمل دوتایی]] یک پوشش است که هر دو عضو مجموعه را با یک عضو مجموعه مرتبط میسازد. خروجی جمع دو عضو ''a'' و ''b'' را به صورت {{math|''a'' + ''b''}} نشان می‌دهند و مجموع می‌نامند و نتیجه‌ی ضرب را به صروت {{math|''ab''}} یا {{math|''a''⋅''b''}} نشان می‌دهند. با توجه به تعریفات مطرح شده می‌توان شروط میدان‌ها را ذکر کرد. در شروط زیر ''a'' و ''b'' و ''c'' همگی اعضای مجموعه هستند:
* ''[[شرکت پذیری]]'' در جمع و ضرب {{math|1=''a'' + (''b'' + ''c'') = (''a'' + ''b'') + ''c''}} و {{math|1=''a'' · (''b'' · ''c'') = (''a'' · ''b'') · ''c''}}.
* ''[[خاصیت جابه‌جایی]]'' در جمع و ضرب: {{math|1=''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a''}} and {{math|1=''a'' · ''b'' = ''b'' · ''a''}}.
* ''۰'' و ''۱'': دو عضو از مجموعه وجود داشته باشند بطوریکه به ازای هر ''a'' در عضو مجموعه داشته باشیم {{math|1=''a'' + 0 = ''a''}} and {{math|1=''a'' · 1 = ''a''}}.
* ''[[وارون جمعی|وارون جمعی]]'': به ازای هر عضو ''a'' وجود دارد {{math|−''a''}} در مجموعه به طوریکه {{math|1=''a'' + (−''a'') = 0}} و به آن وارون جمعی گفته می‌شود.
* ''[[وارون ضربی|وارون ضربی]]'': به ازای هر {{math|''a'' ≠ 0}} در مجموعه وجود داشته باشد {{math|''a''<sup>−1</sup>}}, {{math|1/''a''}}, یا {{math|{{sfrac|1|''a''}}}} بطوریکه که {{math|1=''a'' · ''a''<sup>−1</sup> = 1}} و به آن وارون ضربی گفته می‌شود.
* ''[[توزیع‌پذیری]]'' ضرب بر روی جمع: {{math|1=''a'' · (''b'' + ''c'') = (''a'' · ''b'') + (''a'' · ''c'')}}
| 