مشتق: تفاوت میان نسخه‌ها

در نگاه نخست اینطور به نظر می‌رسید که بین مسئلهٔ یافتن [[مساحت]] سطح زیر یک [[نمودار]] و موضوع تعیین خط مماس بر منحنی در یک نقطه رابطه‌ای وجود ندارد، اما اولین کسی که دریافت این دو مفهومِ به ظاهر دور از هم، در واقع ارتباط نسبتاً نزدیکی با هم دارند [[آیزاک بارو]] معلم [[آیزاک نیوتون]] بوده‌است.

 

 

نیوتون از شیوهٔ استدلال [[سینماتیک]] و با دیدگاه فیزیکی به بررسی مشتق پرداخته و از آن برای بدست آوردن سرعت لحظه‌ای استفاده می‌کرد. اما لایب نیتس با دیدگاهی هندسی، از مشتق برای بدست آوردن ضریب زاویهٔ مماس در [[خم|منحنی‌ها]] استفاده می‌کرد. هر یک از این دو دانشمند نمادهای جداگانه‌ای را برای نشان دادن مشتق به کار می‌بردند.<ref>{{یادکرد کتاب | عنوان=حساب دیفرانسیل و انتگرال| نویسنده=آدامز، کریستوفر اسکس | سال=۲۰۰۹ | ترجمه=| ناشر=Pearson Education Canada |چاپ=هفتم |شابک= 9780321549280}}</ref><ref name="ReferenceA">{{یادکرد کتاب | عنوان=A History of Mathematics| نویسنده=[[کارل بویر]] | سال=۱۹۶۸ | ترجمه= | ناشر= |چاپ= |شابک=}}</ref>

<!--== پیشینه ==

[[پرونده:Gottfried Wilhelm von Leibniz.jpg|بندانگشتی|180px|[[گوتفرید لایبنیتس|گوتفرید ویلهلم فون لایبنیتس]]]]

 

پیش از آن نیز، در نیمهٔ نخست سدهٔ هفدهم میلادی، برای نخستین بار [[بلز پاسکال]] بر روی مفهوم خط مماس بر روی یک خم کار کرده بود. در پایان همین قرن بود که [[گیوم هوپیتال]] بر آن شد تا کتابی در زمینهٔ تحلیل اعداد بی‌نهایت کوچک (عنوان کتاب: ''Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes'') منتشر کند، وی در این کتاب از محاسبات دیفرانسیلی لایبنیتز نیز استفاده کرد. هم‌زمان با او، [[والیس]]، ریاضی‌دان انگلیسی که به دلیل بیان [[انتگرال والیس|انتگرالی]] با همین نام مشهور است مانند پاسکال در زمینهٔ تحلیل دیفرانسیلی مطالعه می‌کرد.

[[پرونده:Alembert.jpg|بندانگشتی|راست|180px|[[ژان دالامبر|ژان لو روند دالامبر]].]]

 

به دلیل تمام تلاش‌هایی که [[لاگرانژ]] در پایان سدهٔ ۱۸ میلادی داشت، امروزه مفهوم <math>f'(x)</math> برای ما بسیار عادی و پرکاربرد به نظر می‌آید. همچنین عنوان فرانسهٔ مشتق (''dérivée'') را نیز لاگرانژ انتخاب کرد.<ref>{{یادکرد-ویکی

 

== دامنهٔ تابع مشتق ==

:<math>\} \!</math> مجموعه نقاطی که <math>f' \!</math> در آن تعریف نشده است <math>D_{f'} = D_{f} - \{ \!</math>

 

:<math>z = f (x , y) \; \Rightarrow \; \dfrac {\partial z}{\partial x} = \dfrac {\partial}{\partial x} f (x , y) \!</math>

 

:<math>\dfrac {\partial}{\partial x_i} f (x_1, x_2 , \ldots , x_n) = \lim_{h \to 0} \dfrac {f (x_1, \ldots , x_i + h, \ldots , x_n) - f (x_1 , \ldots , x_i , \ldots , x_n)}{h}</math>

 

=== مشتق ضمنی ===

{{اصلی|مشتق ضمنی}}

* '''استفاده از قاعدهٔ زنجیری:''' در این روش، از طرفین رابطه نسبت به <math>x \!</math> مشتق می‌گیریم و با فاکتورگیری، <math>y' \!</math> را بدست می‌آوریم. (اگر بخواهیم مشتق را نسبت به <math>x \!</math> حساب کنیم آنگاه <math>x'_x = 1 \!</math> و <math>y'_x = y' \!</math> خواهد بود)

* '''استفاده از مشتق جزئی:''' در این روش از رابطهٔ زیر استفاده می‌شود:

تابع <math>f \!</math> بر بازهٔ <math>(a , b) \!</math> پیوسته و مشتق‌پذیر است، هرگاه تک تک مؤلفه‌های <math>f \!</math> بر بازهٔ <math>(a , b) \!</math> پیوسته و مشتق‌پذیر باشند. با توجه به این تعریف، بسیاری از قضایای مشتق توابع حقیقی برای توابع برداری نیز صادق‌اند.

 

:<math>u = xi + yj = f(t) i + g(t) j \; \Rightarrow \; \frac{\operatorname du}{\operatorname dt} = \frac{\operatorname dx}{\operatorname dt}i + \frac{\operatorname dy}{\operatorname dt}j = f'(t)i + g'(t)j \!</math>

 

اگر تابع <math>f \!</math> روی بازهٔ <math>I \!</math> مشتق‌پذیر باشد تابع <math>f' \!</math> خود ممکن است در نقطه‌ای مثل <math>a \!</math> مشتق‌پذیر باشد. به عبارتی اگر <math>f''(a) = \lim_{h \to 0}\frac{f'(a + h) - f'(a)}{h}</math> موجود باشد، می‌گوییم مشتق مرتبهٔ دوم تابع <math>f \!</math> در <math>a \!</math> موجود است و آن را با <math>f''(a) \!</math> نمایش می‌دهیم.

 

:<math>f^{(n)} (a) = \lim_{h \to 0}\frac{f^{(n - 1)} (a + h) - f^{(n - 1)} (a)}{h}</math>

 

=== قاعدهٔ هوپیتال ===

{{اصلی|قاعده هوپیتال}}

:<math>\lim_{x \to a} \cfrac {f (x)}{g (x)} = \lim_{x \to a} \cfrac {f' (x)}{g' (x)} = L \!</math>

 

در حالت کلی تر فرم ''ضمنی'' معادلهٔ دیفرانسیل معمولی از مرتبهٔ n به صورت زیر می‌باشد:

:<math>F\left(x, y, y', y'',\ \cdots,\ y^{(n)}\right) = 0</math>

 

== قواعد مشتق‌گیری ==