عملگرهای خلق و فنا: تفاوت میان نسخه‌ها
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
Yamaha5Bot (بحث | مشارکت‌ها) تمیزکاری با ویرایشگر خودکار فارسی |
FreshmanBot (بحث | مشارکت‌ها) جز اصلاح فاصله مجازی + اصلاح نویسه با استفاده از AWB |
||
خط ۱:
'''عملگرهای خلق و فنا'''، عملگرهای [[ریاضی]] هستند که کاربردهای گسترده‌ای در [[مکانیک کوانتومی]]، بخصوص در مطالعه نوسانگرهای هارمونیک و سیستم‌های چند ذره‌ای دارند.[۱] یک عملگر فنا تعداد ذرات یک حالت مشخص را کاهش می‌دهد. یک عملگر خلق تعداد ذرات یک حالت مشخص را افزایش می‌دهد، و به عملگر فنا متصل می‌باشد. در بسیاری از زیر مجموعه‌های رشته فیزیک و شیمی از این عملگرها
عملگرهای خلق و فنا می‌توانند روی حالتهای انواع مختلف ذرات
ریاضیات مربوط به عملگرهای خلق و فنا برای بوزونها با عملگرهای نوسانگر هارمونیک کوانتوم یکسان است.[۲] برای مثال جابجایی عملگرهای خلق و فنا که مربوط به حالت یکسان بوزونها هستند، برابر یک است. در حالی که سایر جابجاییها صفر است. با این وجود برای فرمیونها معادله‌های ریاضی متفاوت است و جابجاییها معکوس می‌باشد.
== استنتاج فرمولهای نوسانگر هارمونیک کوانتومی ==
در زمینه [[نوسانگر هارمونیک کوانتوم]]، ما بار دیگر عملگرهای پله‌ای را
نخست مورد
:<math>\left(-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{d x^2} + \frac{1}{2}m \omega^2 x^2\right) \psi(x) = E \psi(x)</math>
خط ۲۴:
:<math> -\frac{d^2}{dq^2} + q^2 = \left(-\frac{d}{dq}+q \right) \left(\frac{d}{dq}+ q \right) + \frac {d}{dq}q - q \frac {d}{dq} </math>
دو عبارت را می‌توان با در نظر گرفتن
:<math>\left(\frac{d}{dq} q- q \frac{d}{dq} \right)f(q) = \frac{d}{dq}(q f(q)) - q \frac{df(q)}{dq} = f(q) </math>
خط ۴۴:
:<math>a^\dagger \ = \ \frac{1}{\sqrt{2}} \left(-\frac{d}{dq} + q\right)</math>
را
:<math> a \ \ = \ \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\ \ \ \frac{d}{dq} + q\right)</math>
را
سپس معادله شرودینگر برای نوسانگر بدین صورت در می‌آید:
خط ۷۴:
:<math> [a, a^\dagger ] = \frac{1}{2} [ q + ip , q-i p] = \frac{1}{2} ([q,-ip] + [ip, q]) = \frac{-i}{2} ([q, p] + [q, p]) = 1 </math>
در مقایسه با عملگرهای به اصطلاح [[نرمال ریاضی]]، که نماد مشابه‌ای دارند (e.g. <math>A= W_1 + i\, W_2)\,,</math>) با خودالحاقی <math>W_i\,.</math>. اما در مورد عملگرهای نرمال، در ارتباط با جابجایی <math> W_i\,,</math> i.e با <math>W_1W_2=W_2W_1\,,</math> خواهد بود. با <math>W_1W_2=W_2W_1\,,</math> یک در بینهایت r.h.s معادله قبلی
بنابر این اگرچه در مورد حاضر وجود دارد رفتار صریح با عملگرهای غیرعادی رابطه تبدیل را می‌دهد، [[عملگر هامیلتونی]] می‌تواند بیان شود بعنوان:
خط ۹۶:
این مسئله نشان می‌دهد که <math>a\psi_n</math> و <math>a^\dagger\psi_n</math> همچنین ویژه حالت هامیلتونی با ویژه مقدارهای <math>E_n - \hbar \omega</math> و <math>E_n + \hbar \omega</math> می‌باشند.
این مسئله عملگرهای <math>a</math> و <math>a^\dagger</math> را
حالت پایه را می‌توان با این فرض بدست آورد که عملگر کاهنده آن را از بین می‌برد، <math>a\, \psi_0 = 0</math>. سپس از هامیلتونی برحسب عملگرهای افزاینده و کاهنده استفاده می‌کنیم
خط ۱۴۹:
\vdots& \vdots& \vdots& \vdots& \vdots& \vdots& \ddots \end{pmatrix}</math>
با جابجایی به طرف پایین عملگرهای پله‌ای بدست می‌آیند که می‌توان از طریق رابطه‌های <math>a^\dagger_{ij} = \langle\psi_i | \hat{a}^\dagger | \psi_j\rangle</math> و <math>a_{ij} = \langle\psi_i | \hat{a} | \psi_j\rangle</math>.
== جزئیات ریاضی ==
عملگرهای استنتاج شده در بالا در واقع یک نمونه ویژه از یک طبقه کلی¬تر از عملگرهای خلق و فنا هستند. /
فرض کنید ''H'' فضای ذره‌ای هیلبرت است برای بدست آوردن هندسه بوزونی CCR به هندسه بوجود آمده با (''a''(''f'' به ازای هر ''f'' در ''H'' مراجعه کنید. عملگر (''a''(''f'' عملگر فنا است و نقشه (۰)''a'' غیر خطی است. مجاور آن (''a''<sup>†</sup>(''f'' است که در ''H'' خطی است.
خط ۱۸۱:
که در آن "کت صفر" وضعیت خلا است.
اگر "کت" نرمالیزه شود
== عملگرهای خلق و فنا برای معادلات واکنش انتشار ==
وضیح علگرهای خلق و فنا همچنین برای تجزیه و تحلیل معادلات /معمول کنش و واکنش سفید
حال می‌توانیم کار ذرات را در شبکه
:<math>a|n\rangle= \sqrt{n} \ |n-1\rangle</math>
خط ۲۰۲:
:<math>\partial_{t}|\psi\rangle=-\alpha\sum(2a_{i}^{\dagger}a_{i}-a_{i-1}^{\dagger}a_{i}-a_{i+1}^{\dagger}a_{i})|\psi\rangle=-\alpha\sum(a_{i}^{\dagger}-a_{i-1}^{\dagger})(a_{i}-a_{i-1})|\psi\rangle </math>
دوره واکنش با توجه به اینکه ذرات <math>n</math>می‌توانند
:<math>\lambda\sum(a_{i}a_{i}-a_{i}^{\dagger}a_{i}^{\dagger}a_{i}a_{i})</math>
خط ۲۱۲:
سایر واکنش‌ها را می‌توان به روشی مشابه در اینجا گنجاند.
این نوع عبارت به ما اجازه می‌دهد که از
== عملگرهای خلق و فنا در تئوریهای میدان کوانتومی ==
| |||