یک کاربرد بسیار مهم مقدار مورد انتظار در زمینهٔ [[مکانیک کوانتوم]] است. مقدار مرودمورد انتظار یک عملگر (یا اپراتور) مکانیکی کوانتوم <math>\hat{A}</math> که در بردار حالت کوانتوم <math>|\psi\rangle</math> کار می‌کند، به این صورت نوشته می‌شود:<math>\langle\hat{A}\rangle = \langle\psi|A|\psi\rangle</math>. . ابهام در <math>\hat{A}</math> می‌تواند با استفاده از <math>(\Delta A)^2 = \langle\hat{A}^2\rangle - \langle\hat{A}\rangle^2</math> محاسبه شود.
امید ماتریس‌ها
اگر <math>X</math> یک ماتریس <math>m \times n</math> [[ماتریس (ریاضی)|ماتریس]]، باشد پس مقدار مورد انتظار ماتریس به صورت ماتریس مقادیر مورد انتظار تعریف می‌شود:
خط ۲۶۱:
</math>
تاریخ
نظریهٔ مقدار مورد انتظار در اواسط [[قرن هفدهم]] از مطالعه مشکل معروف امتیازات منشأ گرفته‌است. مشکل این بود: چگونه باید پولهای شرط‌بندی شده را به‌طور عادلانه بین دو بازیکنی که قبل از اینکه بازی کاملاً تمام شود مجبور هستند بازی را تمام کنند تقسیم کرد؟ این مشکل [[قرن‌ها]] مورد بحث وبررسی قرار گرفت و راه حلهاوحلها پیشنهادهاو پیشنهادهای جنجال‌برانگیز زیادی پیشنهاد شدند. این نظریه برای اولین بار توسط یک [[نجیب‌زاده]] ی فرانسوی دودومر مر((de Mere در سال ۱۶۵۴ به [[بلیز پاسکال]] ارائه شد. دو مردومر اظهار نظر کرد که این مشکل نمی‌تواند حل شود و این نشان می‌دهد ریاضی نمی‌تواند در دنیای واقعی استفاده شود و کمبود دارد. پاسکال، که یک ریاضیدان است،بود، برانگیخته شد و تصمیم گرفت این مشکل را برای همیشه حل کند. اولین موضوع را از طریق نامه‌های معروفی با پیر دو فرماتفرما (Pierre de fermat) در میان گذاشت. بعد از مدت زمان کوتاهی هر دوی آنها به دو راه حل مجزا رسیدند. آنها این مشکل را با دو راه حل محاسباتی متفاوت حل کردند، اما نتیجهٔ آنها یکسان بود زیرا محاسبات شان بر اساس اصول پایه و اساسی یکسانی بود. این اصل پایه این بود که مقدار یک یود آینده باید مستقیماً با شانس به دست آوردن آن مساوی باشد. این اصل به نظر هر دوی آنها کاملاً طبیعی بود. آنها از اینکه به راه حل رسیده بودند بسیار خوشحال بودند و از اینرو این باعث شد آنها متقاعد شوند بالاخره انیاین شکلمشکل را توانسته‌اند حل کنند. با این حال آنها یافته‌هایشان را منتشر نکردند. آنها تنها به تعدادی از دوستان مشترک محققانشانمحققشان در پاریس اطلاع دادند. سه سال بعد در سال ۱۶۵۷ یک [[ریاضیدان]] آلمانی کریستیان هیگنز، که به پاریس سفر کرده بود، یک مقاله در مورد نظریهٔ احتمال با نام (de ratiociniis in ludo ale) چاپ کرد. در آن مقاله هیگنز مسئله امتیازات را در نظر گرفته بود و یک راه حل بر اساس همان اصلی که پاسکال و فرماتفرما دنبال کرده بودند پیشنهاد کرد. او همچنین نظریه امید را با اضافه کردن قوانین مربوط به چگونه محاسبه کردن امیدها در موقعیت‌های پیچیده‌تر از مسئلهٔ اصلی، گسترش داد. هینگز در مقدمهٔ مقاله اش نوشت: باید گفته شود که بریا بعضی مواقع، بعضی از بهترین [[ریاضی دانان]] از فرانسه قبلاً به حل آن پرداخته بودند بنابراین هیچ‌کس نباید افتخار ابداع این نظریه را به من نسبت دهد. این به من تعلق ندارد. اما انیاین دانشمندان، اگر چه هر دو یکدیگر را از طریق پرسیدن سوالات دشوار از یکدیگر در معرض آزمایش قرار داده بودند ولی روش‌هایشان را از هم پنهان کرده بودند. از اینرو من از همان [[اصول اولیه]] شروع کردم تا به حل این مسئله رسیدم و بدین دلیل غیرممکن است تأیید کنم که از همان اصول آنها آغاز به کار کردم. اما در نهایت من در بسیاری از موارد بدین نتیجه رسیدم که پاسخ‌هایم با آنها متفاوت هستند. از اینرو هیگنز در طی سفرش به فرانسه از اظهار نظر دومر در سال ۱۶۵۵ مطلع شد، بعداً در سال ۱۶۵۶ از طریق ارتباط با کارکاوی دریافت که روش او کاملاً همانند پاسکال است، بنابراین قبل از اینکه مقاله اش برای چاپ برود، او از ارجحیت و پیش قدمی پاسکال در این زمینه آگاه بود.
پاسکال و هیگنز هیچ‌کدام کلمهٔ امید را با مفهوم امروزی استفاده نکردند. به خصوص شانس یا امید من برای بردن هر چیزی مساوی با به دست نیاوردن آن است… اگر من انتظار دارم a یا b را به دست بیاورم، شانس بدست آوردن هر کدام از آنها مساوی است، مقدار امید من (a+b)/2 است. بیش از صد سال قبل، در سال ۱۸۱۴ پیرسایمون لاپلاس مقالهٔ خود را با عنوان "Théorie analytique des probabilités" منتشر کرد، در آنجا مفهوم مقدار مورد انتظار (یا امید ریاضی) به‌طور واضح توضیح داده شد.
استفاده از حرف E به معنی مقدار مورد انتظار است که به نظریهٔ انتخاب و شانس دابیلیو. ای وایت ورت بر می‌گردد این سمبل در زمانی که بریا همهٔ نویسندگان انگلیسی، آلمانی و فرانسوی E به معنی انتظار شد.
