تفاوت میان نسخه‌های «درخت پوشای کمینه»

جز
ویرایش به‌وسیلهٔ ابرابزار:
جز (جایگزینی با اشتباه‌یاب: ابتدایال⟸ابتدا یال، ایجادحلقه⟸ایجاد حلقه، باشدیعنی⟸باشد یعنی، درالگوریتم⟸در الگوریتم، نسبتاپرباشدویالهای⟸نسبتا پر باشد و یالهای، نیزمشابه⟸نیز مشابه، هاازکمترین⟸ها از کمترین، واگریالی⟸و اگر یالی، کندوکنارگذاشته⟸کند و کنار گذاشته، گردندسپس⟸گردند سپس، یااینکه⟸یا اینکه، یابدکه⟸یابد که)
جز (ویرایش به‌وسیلهٔ ابرابزار:)
'''درخت پوشای کمینه''' یا درخت فراگیر مینیمم در [[گراف|گراف‌های]]‌های ارزش دار (وزن دار) ساخته می‌شود.
 
فرض کنید گراف یک [[گراف همبند]] باشد (یعنی بین هردو رأس متمایز آن یک مسیر وجود داشته باشد) منظور از یک [[درخت پوشا]] از این گراف درختی است که شامل همه رئوس این گراف باشد ولی فقط بعضی از یال‌های آن را دربر گیرد. منظور از درخت پوشای مینیمم (برای گراف همبند وزن دار) درختی است که بین درخت‌های پوشای آن گراف، مجموع وزن یال‌های آن، کمترین مقدار ممکن باشد. برای به دست آوردن درخت پوشای بهینه یک [[گراف جهت دار]] متصل می‌توان از الگوریتم‌های متفاوتی استفاده نمود. سه [[الگوریتم]] معروف پیدا کردن درخت پوشای کمینه عبارتند از :
[[الگوریتم کروسکال]]،
[[الگوریتم پریم]]،
[[الگوریتم بروکا]] (سولین)،
[[الگوریتم حذف معکوس]]
 
==ویژگی هایویژگی‌های درخت پوشای کمینه ==
تعداد حالات ممکن
 
کم وزن‌ترین یال در برش گراف
 
ادعا: اگر گراف را به دو مجموعه V و V′ از راس‌ها افراز کنیم، کم‌وزن‌ترین یال بین یال‌هایی که یک طرفشان در مجموعه V و طرف دیگرشان در مجموعه V′ است باید جزء درخت پوشای کمینه باشد. (اگر چند یال با کم‌ترین وزن وجود داشت، باید دقیقادقیقاً یکی از آن‌ها جزء درخت پوشای کمینه باشد).
 
کم‌وزن‌ترین یال گراف
پروزن‌ترین یال هر دور
 
اگر یالی در یک دور از تمام یال‌های موجود در آن دور وزنش بیشتر باشد، نمی‌تواند در درخت پوشای کمینه قرار بگیرد. فرض خلف: فرض کنید این یال در یک درخت پوشای کمینه وجود دارد، اگر آن را حذف کنیم درخت به دو مولفمؤلف تقسیم می‌شود و دور مذکور در گراف اصلی بدون این یال یک مسیر بین این دو مؤلفه می‌شود. یالی از این مسیر که این مسیر را از این مؤلفه به آن مؤلفه منتقل می‌کند جایگزین یال حذف شده به درخت اضافه کنید (ممکن است چند یال این کار را بکنند که مهم نیست کدام را انتخاب می‌کنیم). این یال کم‌وزن تر است پس مجموع وزن‌های یال‌های درخت جدید کم ترکم‌تر است که با کمینه بودن درخت اول در تناقض است.
 
== کاربرد درخت پوشای کمینه ==
در مسائلی که هدف ایجاد شبکه‌ای است که برای ایجاد ارتباط بین هر دو عضو آن هزینه‌ای باید بپردازیم و می‌خواهیم در نهایت در این شبکه بین هر دو عضو ارتباط وجود داشته باشد، درخت پوشای کمینه همان کم هزینه‌ترین شبکه است. برای مثال فرض کنید در کشوری می‌خواهیم طوری جاده‌سازی کنیم که بتوان از هر شهری به هر شهر دیگری سفر کرد و هزینه ساخت جاده بین هر دو شهر را داریم (این هزینه می‌تواند تابعی بر اساس فاصله ۲ شهر، آب و هوای بین دو شهر فاصله آن‌ها از شرکت راه‌سازی و … باشد). برای پیدا کردن کم هزینه‌ترین راه، باید درخت پوشای کمینه را بیابیم.
 
== الگوریتم کروسکال ==
در الگوریتم کراسکال یال‌های گراف را به ترتیب صعودی مرتب می کنیممی‌کنیم. از اولین (کوچکترین) یال شروع کرده و هر یال را به گراف اضافه می کنیممی‌کنیم به شرط اینکه دور در گراف ایجاد نگردد. این روال را آنقدر ادامه می دهیممی‌دهیم تا درخت پوشای بهینه تشکیل گردد.
 
این الگوریتم نیز مشابه الگوریتم پریم برای یافتن درخت پوشای کمینهٔ یک گراف به کارمی رود. دراین الگوریتم ابتدا یال هایال‌ها از کمترین وزن به بیشترین وزن مرتب می گردندمی‌گردند سپس یال هابه ترتیب انتخاب شده و اگر یالی ایجاد حلقه کند و کنار گذاشته می‌شود. عملیات هنگامی خاتمه می یابدمی‌یابد که تمام رأس هابه هم وصل شوند یا اینکه تعداد یال‌های موجود در F برابر n-1 شود که n تعداد رأس‌ها است.است؛ که در بعضی کتاب‌ها با نام راشال مطرح شده‌است. شکل زیر مراحل کار را برای یک گراف فرضی نشان می‌دهد.
 
بیشتر زمان در الگوریتم کروسکال مربوط به مرتب سازیمرتب‌سازی یالهاست، پس اگر تعداد یال e باشد زمان این الگوریتم از مرتبه (e lg e) Ѳ خواهد بود.
 
نکته : اگر e نزدیک به کران پایین باشد یعنی گراف نسبتانسبتاً خلوت بوده و یال کمی داشته‌است. الگوریتم کروسکال از مرتبه روبه رو است :
 
(n lg n) Ѳ = (e lg e) Ѳ
 
واگرe نزدیک به کران بالا باشد یعنی گراف نسبتانسبتاً پر باشد و یالهای زیادی داشته باشد:
 
(n2 lg n) Ѳ = (n2.2 lg n) Ѳ = (n2 lg n2) Ѳ = (e lg e) Ѳ
 
پس اگر گرافی یالهای کمی دارد بهتراست از روش کروسکال واگر یالهای زیادی دارد بهتراست از روش پریم استفاده کنیم.
8 // edge u,v is the minimum weighted route from/to v
9 (u,v) ← Q.removeMin()
10 // prevent cycles in T. add u,v only if T does not already contain a path between u and v.
11 // Note that the cluster contains more than one vertex only if an edge containing a pair of
12 // the vertices has been added to the tree.
 
== الگوریتم پریم ==
در این روش از یک رأس شروع می کنیممی‌کنیم و کمترین یال (یال با کمترین وزن) که از آن می‌گذرد را انتخاب می کنیممی‌کنیم. در مرحله بعد یالی انتخاب می‌شود که کمترین وزن را در بین یال‌هایی که از دو گره موجود می‌گذرد داشته باشیم. به همین ترتیب در مرحله بعد یالی انتخاب می‌گردد که کمترین وزن را در بین یالهایی که از سه گره موجود می‌گذرد داشته باشد. این روال را آنقدر تکرار می کنیممی‌کنیم تا درخت پوشای بهینه حاصل شود. باید توجه کرد که یال انتخابی در هر مرحله در صورتی انتخاب می‌شود که در گراف دور ایجاد نکند. تفاوت روش پریم با روش کراسکال در این است که گراف حاصل در مراحل میانی تشکیل درخت پوشای بهینه در روش پریم همیشه متصل است ولی در الگوریتم کراسکال در آخرین مرحله قطعاً متصل است.
{{چپ‌چین}}
<source lang=cpp>
{{پایان چپ‌چین}}
* ممکن است درختهایی که الگوریتم مذکور تولید می‌کنند، از لحاظ شکل ظاهری متفاوت باشند، ولی وزن همهٔ درخت‌ها یکسان است.
* مرتبهٔ زمانی الگوریتم پریم برابر (o(n^2 است. (حلقهٔ while، برای n دفعه و عمل یافتن از میان لبه‌های متصل به یک مجموعه دور خاص n دفعه اتفاق می افتد؛می‌افتد؛ که در مجموع برابر n^2 دفعه می‌شود).
 
[[File:16597fe.jpg|16597fe]]|[[File:16597fe.jpg|thumb|16597fe]] نمونه مثال الگوریتم پریم
 
== زمان اجرای الگوریتم prim ==
به چگونگی پیاده‌سازی صف اولویت Q بستگی دارد. اگر Q به صورت min-heap دودویی پیاده‌سازی شود. می‌توانیم از روال BUILD-MIN-HEAP در خطوط ۵-۱۵–۱ برای [[مقدار دهی اولیه]] در زمان(O(V استفاده کنیم. بدنه حلقهwhile، |V| بار اجرا می‌شود.می‌شود؛ و چون هر عمل EXTRACT-MIN زمان(O(lgV را صرف می‌کند زمان کل برای همه فراخوانی EXTRA-MIN برابر(O(vlogV است. حلقه for در خطوط ۱۱-۸۱۱–۸ روی هم رفته (O(E بار اجرا می‌شود چون مجموعه طول همه لیست‌های همجواری برابر ۲|E| می‌باشد. در داخل حلقه for بررسی برای عضویت در Q در خط ۹ می‌تواند در زمان ثابت با نگهداری یک بیت برای هر راس که بیان می‌کند آیا آن راس در Q قرار دارد یا خیر، پیاده‌سازی می‌شود و وقتی که راس از Q حذف شود بروز رسانی بیت انجام می‌گیرید. انتساب در خط۱۱ شامل یک عمل DECREASE- KEY ضمنی بر روی min-heap است که می‌تواند در min-heap دودویی در زمان(O(lgV پیاده‌سازی شود.شود؛ بنابراین زمان کل برای الگوریتم Prim برابر(O(VlgV+ ElgV)= O(ElgV است که به‌طور مجانبی با پیاده‌سازی الگوریتم Kruskal یکسان می‌باشد.
 
به چگونگی پیاده‌سازی صف اولویت Q بستگی دارد. اگر Q به صورت min-heap دودویی پیاده‌سازی شود. می‌توانیم از روال BUILD-MIN-HEAP در خطوط ۵-۱ برای [[مقدار دهی اولیه]] در زمان(O(V استفاده کنیم. بدنه حلقهwhile، |V| بار اجرا می‌شود. و چون هر عمل EXTRACT-MIN زمان(O(lgV را صرف می‌کند زمان کل برای همه فراخوانی EXTRA-MIN برابر(O(vlogV است. حلقه for در خطوط ۱۱-۸ روی هم رفته (O(E بار اجرا می‌شود چون مجموعه طول همه لیست‌های همجواری برابر ۲|E| می‌باشد. در داخل حلقه for بررسی برای عضویت در Q در خط ۹ می‌تواند در زمان ثابت با نگهداری یک بیت برای هر راس که بیان می‌کند آیا آن راس در Q قرار دارد یا خیر، پیاده‌سازی می‌شود و وقتی که راس از Q حذف شود بروز رسانی بیت انجام می‌گیرید. انتساب در خط۱۱ شامل یک عمل DECREASE- KEY ضمنی بر روی min-heap است که می‌تواند در min-heap دودویی در زمان(O(lgV پیاده‌سازی شود. بنابراین زمان کل برای الگوریتم Prim برابر(O(VlgV+ ElgV)= O(ElgV است که به‌طور مجانبی با پیاده‌سازی الگوریتم Kruskal یکسان می‌باشد.
اگر heap فیبوناچی برای پیاده‌سازی صف اولویت مینیمم Q استفاده شود. [[زمان اجرای الگوریتم]] Prim به(O(E+VlgV بهبود می‌یابد.
 
== الگوریتم سولین ==
در الگوریتم سولین برای هر گره یال با کمترین هزینه که از آن عبور می‌کند را رسم می کنیم می‌کنیم. در مرحله بعد، گراف به مؤلفه‌هایی تقسیم می‌شود و یالی انتخاب می‌گردد که با کمترین هزینه دو مؤلفه گراف را به همدیگر متصل نماید با شرط عدم وجود دور در گراف. آنقدر این مراحل را ادامه می دهیممی‌دهیم تا درخت پوشای کمینه حاصل شود.
 
== منابع ==
{{چپ‌چین}}
* [//mst.sheikhoo.ir درخت پوشای کمینه]
* [[:en:Kruskal algorithm|Kruskal algorithm]]
* [//en.wikipedia.org/wiki/Kruskal_algorithm Kruskal_algorithm ]
* [[:en:Prim algorithm|Prim algorithm]]
* [//en.wikipedia.org/wiki/Prim_algorithm Prim_algorithm ]
{{پایان چپ‌چین}}