سری (ریاضیات): تفاوت میان نسخه‌ها

در [[ریاضیات]]، یک '''سری''' اغلب به عنوان [[جمع (ریاضی)|مجموع]] یک [[دنباله]] از گزاره‌ها معرفی می‌شود. به عبارت دیگر یک سری به عنوان لیستی از اعداد با عملگر جمع میان‌شان تعریف می‌گردد. برای مثال این [[تصاعد حسابی]]:

 

در بیش‌تر موارد، جمله‌های دنباله بر پایهٔ یک قاعدهٔ خاص تولید می‌شوند هم‌چون به وسیلهٔ یک [[فرمول]] یا یک [[الگوریتم]] یا یک دنباله از اندازه‌گیری‌ها یا حتی از طریق یک تولیدکنندهٔ عدد تصادفی.

 

:<math>(a \neq 0)</math>

 

 

 

== سری‌های متناهی ==

مجموع یک سری متناهی {{چر}}{{nowrap|1=''a''₀ + ''a''₁ + ''a''₂ + …}}{{چر}} حد دنبالهٔ '''مجموع جزئی''' سری

 

 

با میل n به بی‌نهایت است، اگر این حد موجود باشد. اگر این حد موجود و برابر یک [[عدد حقیقی]] باشد، به سری [[سری همگرا|همگرا]] گفته می‌شود، و اگر این حد موجود نباشد یا برابر بی‌نهایت باشد، سری [[سری واگرا|واگرا]] نامیده می‌شود.

 

== سری‌های توانی ==

:توجه کنید که با جایگزینی هر مقدار مختلط به جای x در عبارت بالا یک سری عددی به دست می‌آید که ممکن است همگرا یا واگرا باشد. وقتی a و <math>a_n</math>ها همه حقیقی باشند، یک '''سری توانی حقیقی''' داریم.

 

فاصله همگرایی یک سری توانی، فاصله‌ای واقع بین نقاط r- و r+ است بطوری که به ازای نقاط x درون این فاصله سری همگرایی مطلق و به ازای نقاط x بیرون آن واگراست. عدد r را شعاع همگرایی سری توانی می‌نامند.

 

:

:

:

الف) این سری تنها به ازای <math>x=0</math> همگراست.

:

 

اگر <math>\sum_{i=0}^n a_i x^i </math> یک سری توانی با شعاع همگرایی<math> r> 0</math> باشد، آنگاه شعاع همگرایی سری <math>\sum_{i=1}^{n} i a_i x^{i-1} </math> که حاصل از مشتق‌گیری جمله به جمله سری داده شده‌است، برابر با <math>r</math> است اگر چه قضیه مشتق‌گیری بیان می‌کند که مشتق اول سری توانی <math>\sum_{i=0}^n a_i x^i </math> با شعاع همگرایی ناصفر، وجود دارد ولی، چون سری مشتق شده خود یک سری توانی با همان شعاع همگرایی است، از این سری نیز می‌توان مشتق گرفت. در نتیجه سری داده شده دو بار مشتق‌پذیر است. با تکرار این روند، نتیجه می‌گیریم که همه مشتقهای یک سری توانی با شعاع همگرایی <math>|r| \geq 0</math> در بازه (<math>r</math> , + <math>r</math> -) وجود دارند. با این توضیحات به ذکر یک قضیه می‌پردازیم.

:

اگر سری توانی در فاصله (<math>r</math> , + <math>r</math> -) همگرا باشد، آنگاه مجموع آن نمایشگر تابعی است که در فاصله همگرایی دارای مشتقهای تا مرتبه n ام است، و هر یک از مرتبه‌های مشتق مثلاً مشتق مرتبه n ام مجموع سری، برابر مجموع یک سری است که به n بار مشتق‌گیری جمله به جمله از سری مفروض حاصل می‌گردد. علاوه بر این، فاصله همگرایی هر سری حاصل از مشتق‌گیری، همان فاصله همگرایی سری مفروض، یعنی (<math>r</math> , + <math>r</math> -) است.

 

:

اگر شعاع همگرایی سری توانی <math>\sum_{i=0}^\infty a_i x^i </math> برابر با <math>r </math>> 0 باشد، آنگاه

 

== جستارهای وابسته ==

* [[سری تیلور]]

* [[سری همگرا]]

== منابع ==

* {{چپ‌چین}}

{{پایان چپ‌چین}}

* ریاضی ۱ [[سیاوش شهشهانی]]