سری هندسی: تفاوت میان نسخه‌ها

در [[ریاضیات]]، '''سری هندسی''' به مجموع ([[سری]]) یک [[تصاعد هندسی]] گفته می‌شود و به صورت زیر تعریف می‌شود:

:<math>\sum_{k=0}^{n} ar^k = ar^0+ar^1+ar^2+ar^3+\cdots+ar^n \,</math>

در این سری، ''a'' را ''جمله اول'' و ''r'' را ''قدر نسبت'' سری می‌نامند.

 

== مجموع ==

مجموع یک سری هندسی همگرا (<math>r < 1</math>) از رابطه زیر به دست می‌آید:

:<math>S_{n} \;=\; \frac{a}{1-r}.</math>

 

'''اثبات:'''

 

* موقعی که <math>|r| \;=\ 1</math> سری تبدیل می‌شود به:

 

:<math>a + a + a + a +... .</math>

 

مجموع این سری می‌شود:

 

:<math>S_{n} = (n+1)a</math>

و

:<math>\lim_{n\to \infty} S_{n} = \lim_{n\to \infty} (n+1)a = \pm \infty</math>

(علامت بستگی به منفی یا مثبت بودن <math>a</math> دارد).

 

 

اکنون اگر <math>r \;=\ -1</math> سری تبدیل می‌شود به:

 

:<math>a - a + a - a +... .</math>

 

بنابراین [[دنباله]] مجموع آن به شکل زیر در می‌آید:

 

 

که واگرا می‌باشد.

* حالا ملاحظه کنید موقعی که قدر نسبت سری <math>|r| \;\neq\ 1</math>.

مجموع این سری می‌شود:

 

'''(١)''' <math>S_{n} = a+ar+ar^2+...+ar^n </math>

 

هر دو طرف معادله را با <math>r</math> ضرب می کنیم:

 

'''(٢)''' <math>rS_{n} = ar+ar^2+...+ar^n+ar^{n+1} </math>

 

'''(٢)''' را از '''(١)''' کم می کنیم:

 

'''(٣)''' <math>S_{n} - rS_{n} = a-ar^{n+1} </math>

 

 

از آنجائی که در وضعیت مورد نظر <math>|r| \;\neq\ 1</math>, ما می‌توانیم آن را به شکل زیر بنویسیم:

 

:<math>S_{n} \;=\; \frac{a-ar^{n+1}}{1-r}= \frac{a}{1-r}(1-r^{n+1})</math>

 

اگر <math>r < 1</math> پس <math>lim_{n \to \infty} r^{n+1} =0</math> و نتیجه می گیریم که سری همگرا است.

 

:<math>\lim_{n\to \infty} S_{n} \;=\; \frac{a}{1-r}.</math>

 

== مثال ==