باز کردن منو اصلی

در ریاضیات، سری هندسی به مجموع (سری) یک تصاعد هندسی گفته می‌شود و به صورت زیر تعریف می‌شود:

در این سری، a را جمله اول و r را قدر نسبت سری می‌نامند.

برای نمونه مجموع زیر یک سری هندسی با قدر نسبت ۱/۲ است.

ویژگی‌هاویرایش

در سری هندسی اگر   باشد این سری همگرا خواهد بود. در غیر این صورت این سری واگرا است.

مجموعویرایش

مجموع یک سری هندسی همگرا ( ) از رابطه زیر به دست می‌آید:

 

اثباتویرایش

  • موقعی که   سری تبدیل می‌شود به:
 

مجموع این سری می‌شود:

 

و

 

(علامت بستگی به منفی یا مثبت بودن   دارد).

این واگرائی سری را نشان می‌دهد.

اکنون اگر   سری تبدیل می‌شود به:

 

بنابراین دنباله مجموع آن به شکل زیر در می‌آید:

 

که واگرا می‌باشد.

  • حالا ملاحظه کنید موقعی که قدر نسبت سری  .

مجموع این سری می‌شود:

(١)  

هر دو طرف معادله را با   ضرب می‌کنیم:

(٢)  

(٢) را از (١) کم می‌کنیم:

(٣)  

یا:

 

از آنجائی که در وضعیت مورد نظر  ، ما می‌توانیم آن را به شکل زیر بنویسیم:

 

اگر   پس   و نتیجه می‌گیریم که سری همگرا است.

 

مثالویرایش

یک سری با قدر نسبت   را در نظر بگیرید:

 

از آنجا که قدر نسبت کوچکتر از یک است این سری همگرا است. همگرایی این سری نیز به سمت 1 است.

جستارهای وابستهویرایش