نظریه مجموعه‌ها: تفاوت میان نسخه‌ها

کار کانتور به دو قطبی شدن ریاضیدانان آن زمان انجامید. در حالی [[کارل وایرشتراس]] و ددکیند از کانتور حمایت می‌کردند، [[لئوپولد کرونکر]]، که امروزه به عنوان بنیان‌گذار [[ریاضیات برساخت گرایی]] از او یاد می‌شود، حمایت نمی‌کرد. نظریه اعداد کانتور سرانجام به علت کاربرد مفاهیم کانتوری مانند [[تابع دوسویی|تناظرات یک به یک]] بین مجموعه‌ها، اثباتش مبنی بر اینکه تعداد [[اعداد حقیقی]] بیشتر از اعداد صحیح است، و «بی‌نهایت بودن بی‌نهایت ها» («[[بهشت کانتور]]») مبتنی بر عملکرد [[مجموعه توانی]] متداول گشت. کاربرد نظریه مجموعه‌ها منجر به ارائه مقاله «نظریه مجموعه‌ها» (به [[زبان آلمانی|آلمانی]]: Mengenlehre) در سال ۱۸۹۸ از جانب [[آرتور شونفلایس]] به [[دائرةالمعارف کلین]] شد.

موج جالب توجه بعدی در نظریه مجموعه‌ها حدود ۱۹۰۰ پدیدار شد، وقتی معلوم شد نظریه کانتوری مجموعه‌ها منجر به ایجاد تناقضات بسیاری شد که [[آنتنومی]]ها یا [[پارادوکس]]‌ها خوانده می‌شوند. [[برتراند راسل]] و [[ارنست زرملو]] به‌طور جدا ساده‌ترین و معروف‌ترین پارادوکس را که امروزه [[پارادوکس راسل]] خوانده می‌شود پیدا کردند: «مجموعه تمام مجموعه‌هایی که عضو خودشان نیستند» را در نظر بگیرید، که منجر به این تناقض می‌شود که باید عضو خودش باشد و عضو خودش نباشد. در ۱۸۹۹ کانتور خودش را در معرض این سؤال قرار داد: «[[عدد اصلی|کاردینال]] مجموعه تمام مجموعه‌ها چقدر است؟»، و به تناقض مرتبطی رسید. راسل از پارادوکس خود در سال ۱۹۰۳ به عنوان زمینه خلاصه ریاضیات قاره‌ای در «[[اصول ریاضیات]]»اش استفاده کرد.

 

== مفاهیم و نمادهای اصلی ==