فضای فشرده: تفاوت میان نسخه‌ها

[[پرونده:Compact.svg|جایگزین=فشردگی بازه ها|بندانگشتی|بازه <math>A=(-\infty, -2]</math> به دلیل کراندار نبودن فشرده نیست. بازه <math>C=(2, 4)</math> به دلیل بسته نبودن فشرده نیست. بازه <math>B=[0, 1]</math> فشرده است چون هم بسته و هم کراندار می باشد.]]

 

یکی از این تعمیم ها این است که یک فضای توپولوژی به طور ''دنباله ای'' فشرده است اگر هر دنباله نامتناهی از نقاط فضا دارای زیر دنباله ای نامتناهی باشد که به نقاطی از فضا همگرا گردد. قضیه بولزانو-وایرشتراس بیان می دارد که زیرمجموعه ای از فضای اقلیدسی از جنبه دنباله ای (که ذکر شد) فشرده است اگر و تنها اگر بسته و کراندار باشد. لذا، اگر نامتناهی نقطه از بازه واحد ''بسته'' <math>[0, 1]</math> انتخاب کنیم، برخی از آن نقاط به میزان دلخواهی به برخی اعداد حقیقی در آن فضا نزدیک خواهند شد. به عنوان مثال، برخی از اعدادی چون <math>\frac{1}{2}</math>، <math>\frac{4}{5}</math>، <math>\frac{1}{3}</math>، <math>\frac{5}{6}</math>، <math>\frac{1}{4}</math>، <math>\frac{6}{7}</math>، ... حول ۰ (و برخی دیگر حول ۱) انباشته می شوند. همین اعداد در بازه <math>(0, 1)</math> حول هیچ نقطه ای انباشته نمی شوند؛ لذا بازه باز فشرده نیست. خود فضای اقلیدسی فشرده نیست، چرا که کراندار نیست. به طور خاص، دنباله نقاط ۰، ۱، ۲، ۳، .... هیچ زیر دنباله همگرا به عددی حقیقی ندارد.