انتگرال: تفاوت میان نسخه‌ها
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
جزبدون خلاصۀ ویرایش |
بدون خلاصۀ ویرایش |
||
خط ۱:
{{حساب دیفرانسیل و انتگرال}}
[[پرونده:Integral example.svg|جایگزین=انتگرال معین|بندانگشتی|350x350پیکسل|انتگرال معین تابعی را می توان به صورت مساحت علامت دار ناحیه
در [[ریاضیات]]، '''انتگرال''' روشی برای اختصاص اعداد به [[تابع|توابع]] است، به گونه ای که [[جابه‌جایی|جابجایی]]، [[مساحت]]، حجم و دیگر مفاهیم برآمده از ترکیب داده های بی نهایت کوچک را به وسیله آن بتوان توصیف کرد. انتگرال گیری یکی از دو عمل مهم در [[حسابان|حساب دیفرانسیل و انتگرال]] است، که عمل دیگر آن (عمل معکوس) دیفرانسیل گیری می باشد. برای تابع داده شده ای چون f از متغیر حقیقی x و بازه <math>[a, b]</math> از خط حقیقی، '''انتگرال معین''':
به طور صوری به عنوان مساحت علامت دار ناحیه ای از صفحه xy که به نمودار f، محور x و خطوط عمودی x=a و x=b محدود شده است. نواحی بالای محور x به مساحت کل افزوده و نواحی پایین محور x از ان می کاهند.
عملیات انتگرال گیری، در حد یک مقدار ثابت (یعنی بدون در نظر گرفتن آن)، معکوس عملیات دیفرانسیل گیری است. بدین منظور، اصطلاح ''انتگرال'' را می توان به معنای پاد-مشتق نیز به کار برد، تابعی چون F که مشتقش تابع داده شده ای چون f باشد. در این حالت به انتگرال f، انتگرال نامعین گفته شده و به صورت زیر نوشته می شود:
:<math>F(x) = \int f(x)\,dx.</math>
▲{{وسط|<math>\int_{a}^{b} f(x)\, dx</math>}}
انتگرال هایی که در این مقاله مورد بحث قرار می گیرند از نوع ''انتگرال معین'' اند. [[قضیه اساسی حساب]]، دیفرانسیل گیری را به انتگرال معین ارتباط می دهد: اگر f یک تابع پیوسته حقیقی مقدار روی بازه ی <math>[a, b]</math> باشد، آنگاه زمانی که پاد مشتق f یعنی F، معلوم باشد، انتگرال f روی آن بازه به صورت زیر داده می شود:
:<math>\int_a^b \, f(x) dx = \left[ F(x) \right]_a^b = F(b) - F(a) \, .</math>
اصول انتگرال گیری به طور مستقل توسط [[آیزاک نیوتن|اسحاق نیوتون]] و [[گوتفرید لایبنیتس|گوتفرید ویلهلم لایبنیز]] در اواخر قرن هفدهم میلادی فرموله شد، آن ها انتگرال را به صورت جمع مستطیل هایی با عرض های بی نهایت کوچک می دیدند. [[برنهارت ریمان|برنارد ریمان]] تعریف استواری از انتگرال ارائه نمود. این تعریف بر اساس فرآیند [[حد (ریاضی)|حد]] گیری است که مساحت زیر نمودار یک خم را با شکستن آن ناحیه به قطعات نازک عمودی تخمین می زند. با شروع قرن نوزدهم میلادی، مفاهیم پیچیده تری از انتگرال ظهور پیدا کرد که در آن نوع تابع به علاوه دامنه انتگرال گیری تعمیم یافت. انتگرال خطی برای توابع دو یا چند متغیره تعریف شده است و بازه انتگرال گیری <math>[a, b]</math> در آن با خمی که دو نقطه ابتدا و انتهای انتگرال گیری را به هم متصل می کند جایگزین شده است. در انتگرال سطح (یا انتگرال رویه ای)، خم با یک رویه در فضای سه بعدی جایگزین می شود.
== انتگرال نامعین ==
هرگاه [[مشتق]] تابعی معلوم باشد و بخواهیم تابع را مشخص کنیم، این عمل را انتگرال نامعین نامیده و آن را با نماد <math>\int</math> نمایش می‌دهیم. به انتگرال نامعین، '''پادمشتق''' نیز گفته‌می‌شود، زیرا انتگرال نامعین، عکس [[مشتق|مشتق]] است.
سطر ۳۶ ⟵ ۳۷:
بنا به تعریف، نماد <math>\int_a^b f(x).dx</math> را انتگرال معین نامیده
و حاصل آن را به ازای <math>a<x<b</math> عددی به صورت زیر تعریف می‌کنیم:
<math>\int_a^b f(x).dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)</math>
| |||