انتگرال: تفاوت میان نسخه‌ها
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
خط ۲۹:
=== نیوتون و لایبنیز ===
در قرن هفدهم میلادی، با اکتشافات مستقل قضیه اساسی حساب توسط لایبنیز و نیوتون، پیشرفت عمده ای در انتگرال گیری بوجود آمد. لایبنیز کار خود در ارتباط با حساب را قبل از نیوتون منتشر کرد. این قضیه ارتباطی بین انتگرال گیری و دیفرانسیل گیری را اثبات می کند. این ارتباط، از ترکیب سادگی نسبی دیفرانسیل گیری استفاده کرده و از آن در جهت فرآیند انتگرال گیری استفاده می کند. بخصوص، قضیه بنیادی حساب امکان حل دسته وسیع تری از مسائل را می دهد. چارچوب ریاضیاتی جامعی که هردوی لایبنیز و نیوتون بوجود آوردند از نظر اهمیت در یک سطح هستند. با استفاده از مفهوم حساب بی نهایت کوچک ها، امکان تحلیل دقیق توابع با دامنه‌های پیوسته فراهم گشت. این چارچوب در نهایت منجر به ایجاد حسابان شد، ضمن این که نمناد انتگرال گیری در حسابان به طور مستقیم از کارهای لایبنیز برگرفته شده است.
=== صوری سازی ===
درحالی که نیوتون و لایبنیز رهیافت نظام مندی به انتگرال گیری ارائه نمودند، کارهای آن ها فاقد درجه ای از استواری و استحکام ریاضیاتی بود. بیشاپ برکلی، حمله بیاد ماندنی به روش افزایش ناپدید شونده نیوتون کرد و آن را "ارواح کمیت های مرده" نامید. با توسعه حد، حسابان مجهز به بنیان مستحکمی گشت. ابتدا انتگرال گیری با کمک حدود توسط ریمان از نظر ریاضیاتی مستحکم شد. گرچه که تمام توابع تکه به تکه پیوسته در بازه ای کراندار ریمان-انتگرال پذیرند، اما مثلاً به طور خاص در بستر آنالیز فوریه با توابعی سروکار داریم که بر اساس روش ریمانی انتگرال پذیر نیستند، لذا به مرور با توسعه تعریف انتگرال گیری، مثل فرمول انتگرال گیری لبگ، توابع بیشتری در دایره توابع انتگرال پذیر قرار گرفتند و بدین طریق نظریه اندازه (زیر شاخه ای از آنالیز حقیقی) شکل گرفت. تعاریف دیگر انتگرال که هردو رهیافت ریمانی و لبگ را بسط می دهند نیز پیشنهاد شده اند. این رهیافت ها بر اساس سیستم اعداد حقیقی بوده و امروزه رایج اند، اما رهیافت های دیگری نیز وجود دارند که بر اساس دستگاه اعداد فراحقیقی بنیان نهاده شده اند و از بخش استاندارد (مربوط به آنالیز غیر استاندارد) جمع بی نهایت ریمانی برای تعریف انتگرال استفاده می کنند.
== مهم‌ترین تعاریف در انتگرال ==
| |||