تابع: تفاوت میان نسخه‌ها

=== دامنه و برد تابع ===

# یک تابع f از مجموعه X به توی مجموعه Y را به عنوان نوعی رابطه از مجموعه X به Y تعریف کردیم. مفاهیم ''[[دامنه (تابع)]]'' و ''[[برد (ریاضی)|برد]]'' همانگونه که برای [[رابطه|روابط]] در حالت کلی قابل تعریف‌اند، به طریق اولی برای تابع f نیز قابل تعریف خواهند بود. بنا به '''تعریف''' ''دامنه'' تابع f که با dom''f'' نموده می‌شود، همان مجموعه X است. ''برد'' تابع f نیز مجموعه همه عناصری از Y است که تصویر عضوی از X تحت f باشند. برد تابع f را با ran''f'' یا Im''f'' نشان می‌دهیم. بنابه تعریف داریم:

:<math>\mbox{ran}f = \{y\in Y:\exists x(x\in X\land y = f(x))\}</math>

اما همان‌طور که در گذشته نیز اشاره شد و از تعریف فوق نیز قابل برداشت است، برد f در حالت کلی لزوماً برابر مجموعه Y نمی‌باشد بلکه زیرمجموعه‌ای از آن است. برای تمایز بین مجموعه Y و برد تابع f به مجموعه Y ''[[همدامنه]]'' تابع f می‌گویند و آن را با codom''f'' نشان می‌دهیم و بنا بر آنچه گفته شد، برد تابع زیرمجموعه‌ای از همدامنه‌اش هست.

 

== تصویر و تصویر معکوس ==

اگر<math> f:X \to Y</math> یک تابع و <math>A</math> [[زیرمجموعه|زیرمجموعه‌ای]] از <math>X</math> باشد، ممکن است بخواهیم مجوعه‌ای را در نظر بگیریم که عناصر آن تصویر عناصر <math>A</math> تحت <math>f</math> می‌باشند. یعنی مجموعه‌ای که از تأثیر تابع <math>f</math> روی هر عضو مجموعه <math>A</math> حاصل می‌شود. چنین مجموعه‌ای را ''تصویر'' یا ''نگاره'' <math>A</math> تحت تابع <math>f</math> می‌گوییم و آن را با <math>f(A)</math> نشان می‌دهیم و به این صورت تعریف می‌کنیم:

:<math>f(A)=\{f(x):x\in A\}</math>

بنابر این (y \to f(A اگر و فقط اگر به ازای <math>y=f(x)</math>، <math>x \to A</math> یا به بیان نمادین:

:<math>y\in f(A)\iff \exists x(x\in A\land y=f(x))</math>

به عنوان مثال اگر <math>X=\{1,2,3,4,5\}</math> و <math>Y=\{a,b,c,d,e\}</math> و <math>f:X \to Y</math> به صورت:

:<math>f=\{(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(5,e)\}</math>

تعریف شود و زیرمجموعه <math>A</math> از X به صورت <math>A=\{1,3,4\}</math>در نظر گرفته شود در این صورت:

:<math>f(A)=\{f(1),f(3),f(4)\}=\{a,c,d\}</math>

حال چون<math> X</math> نیز زیرمجموعه‌ای از خودش است می‌توان <math>f(X)</math> را نیز تشکیل داد، که در این صورت بنا به تعریف داریم:

:<math>f(X)=\{f(x):x\in X\}</math>

که عبارت است از مجموعه همه عناصری از <math>Y</math> است که تصویر عضوی از <math>X</math> تحت <math>f</math> باشند که بنابه تعریف همان برد تابع <math>f</math> یعنی <math>ran f</math> است. به این ترتیب برد <math>f</math> را می‌توان تصویر <math>X</math> تحت تابع <math>f</math> تعریف کرد.

 

== اجتماع توابع-توابع چند ضابطه‌ای ==

بسیار اتفاق می‌افتند که مقدار یک تابع در سراسر دامنه‌اش با یک ضابطه مشخص نمی‌شود مثلاً ممکن است دامنه تابع f که آن را X می‌نامیم را به n مجموعه X_۱,X_۲,X_۳,... ,X_n [[افراز مجموعه|افراز]] کنیم و تابع f با دامنه X را برای هر x∈X_i به صورت (f(x)=f_i(x تعریف کنیم که در آن f_i تابعی با دامنه X_i است. همچنین در این صورت می‌توان تابع f را برای هر x از دامنه به صورت زیر نوشت:

:<math>f(x)=\begin{cases} f_1(x) &\,x\in X_1\\ f_2(x) &\,x\in X_2\\ \vdots \\ f_n(x)&\, x\in X_n \end{cases}</math>

در این صورت f را تابعی با n ضابطه می‌گوییم.

 

در مثالی دیگر فرض کنید f:X→Y و g:Z→W دو تابع باشند که برای هر x متعلق به اشتراک X و Y (اشتراک دامنه f,g) داشته باشیم (f(x)=g(x. در این صورت تابع <math>f\cup g:X\cup Z\to Y\cup W</math> اجتماع دو تابع f,g را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

:<math>\left(f\cup g\right)(x)=\begin{cases} f(x)&\, x\in X \\ g(x)&\, x\in Z \end{cases}</math>

برخواننده‌است که خوش تعریفی این تابع را تحقیق کند. این مفهوم را می‌توان گسترش داد یعنی اگر <math>\{A_i\}_{i\in I}</math> خانواده‌ای از مجموعه‌های دو به دو جدا از هم باشد و برای هر f_i,i∈I تابعی با دامنه A_i باشد، می‌توان تابع f، اجتماع توابع f_i برای هر i∈I را با دامنه <math>\cup_{i\in I}A_i</math> را به صورت برای هر x از دامنه به صورت

 

== فضای توابع ==

اگر <math>X</math> و <math>Y</math> دو مجموعه باشند، مجموعه همه توابع از <math>X</math> به <math>Y</math> را با Y^X نشان می‌دهیم و بنابه تعریف داریم:

:<math>Y^X=\{f|f:X\to Y\}</math>

[[عدد اصلی]] این مجموعه را نیز می‌توان به صورت زیر بدست آورد:

:<math>\mbox{card}(Y^X)=(\mbox{card}Y)^{\mbox{card}X}</math>

از رابطه فوق نتیجه می‌شود اگر<math> X</math> مجوعه‌ای <math>n</math>-عضوی و <math>Y</math> مجموعه‌ای <math>m</math>-عضوی باشد، تعداد توابع قابل تعریف از مجوعه <math>X</math> به مجموعه <math>Y</math> برابر است با mⁿ که البته برای اثبات این مسئله خاص راه حل ترکیباتی هم وجود دارد. توضیح اینکه اگر بخواهیم تابع <math>f:X \to Y</math> را تعریف کنیم هر عضو از <math>n</math> عضو مجموعه<math> X</math> چون <math>x \in X</math>، را می‌توان به <math>m</math> طریق به یک عضو از مجموعه <math>Y</math> نسبت داد. پس بنابر [[اصل شمارش]] تعریف چنین تابعی به mⁿ طریق ممکن خواهد بود.