فرایند پواسون: تفاوت میان نسخه‌ها

فرایند پواسون فرایند پیوسته در زمان است. همان‌طور که [[فرایند برنولی]] را گسسته در زمان نامید.

 

== انواع ==

=== همگن ===

 

:<math> P [(N(t+ \tau) - N(t)) = k] = \frac{e^{-\lambda \tau} (\lambda \tau)^k}{k!} \qquad k= 0,1,\ldots,</math>

 

 

 

== ناهمگن ==

در حالت کلی پارامتر λ می‌تواند با زمان تغییر کند و با (''λ(t'' نمایش داده می‌شود. در این صورت به این فرایند، '''فرایند ناهمگن پواسون''' می‌گویند.

 

:<math>\lambda_{a,b} = \int_a^b \lambda(t)\,dt.</math>

 

 

:<math> P [(N(b) - N(a)) = k] = \frac{e^{-\lambda_{a,b}} (\lambda_{a,b})^k}{k!} \qquad k= 0,1,\ldots.</math>

 

=== فرایند فضایی ===

یکی از انواع مهم فرایند پواسون، فرایند فضایی پواسون است. در این فرایند اگر فضا را یک بعدی (خط) در نظر گرفته شود تفاوت آن با فرایند پواسون وابسته به زمان در تفسیر متغیر شاخص آن است. اما اگر ابعاد بالاتری از این فرایند در نظر گرفته شود در این صورت متغیر شاخص [[فضای برداری]] مانند '''R'''² یا '''R'''³ خواهد بود. متغیرهای تصادفی که در زیرفضاهای بدون اشتراک تعداد پیشامدها را می‌گیرند، توزیع پواسون مستقل از هم دارند.

لازم است بدانیم جمع دو متغیر تصادفی مستقل با توزیع پواسون نیز متغیر تصادفی با توزیع پواسون خواهد بود و پارامتر آن برابر مجموع پارامترهای دو توزیع اولیه است.

 

=== فضا-زمان ===

این نوع از فرایندهای پواسون وابسته هر دو مقدار [[فضا و زمان]] است. می‌توان در عمل با پارامتر در نظر گرفتن هر کدام از فضا و زمان در این فرایند آن را مانند فرایند زمانی یا فضایی مورد بررسی قرار داد. در اکثر مواقع این فرایند در زمان و فضا جداگانه بررسی می‌شود.

 

 

== ویژگی‌ها ==

فرایند همگن پواسونی با پارامتر λ در نظر بگیرید. اگر ''T''_''k'' متغیر تصادفی برای نمایش زمان اتفاق افتادن kامین پیشامد باشد. واضح است که تعداد پیشامدهای قبل از زمان ''t'' کمتر از ''k'' است اگر و فقط اگر ''T''_''k'' کوچکتر از ''t'' باشد. اگر احتمال این پیشامدها با هم برابر باشد

 

:<math>P(T_1>t)=P(N(t)=0)=P [(N(t) - N(0)) = 0] = \frac{e^{-\lambda t} (\lambda t)^0}{0!} = e^{-\lambda t}.</math>

 

 

 

== منابع ==

* [[ویژگی ماکف|ویژگی مارکف]]

*

{{فرایندهای تصادفی}}