کوواریانس: تفاوت میان نسخه‌ها

در [[نظریه احتمالات]] '''کواریانس''' یا '''هم‌وَردایی<ref>مشتقات این واژه مصوب فرهنگستان زبان و ادب فارسی است.</ref>''' {{انگلیسی|Covariance}}، اندازه تغییرات هماهنگ دو [[متغیر تصادفی]] است. (اگر دو متغیر یکی باشند، کواریانس برابر [[واریانس]] خواهد شد). برای متغیرهای تصادفی X و Y که [[امید ریاضی]] آنها <math>\scriptstyle E(X)=\mu\,</math> و <math>\scriptstyle E(Y)=\nu\,</math> هستند، کواریانس به صورت زیر تعریف می‌شود:

: <math>\operatorname{Cov}(X, Y) =\operatorname{E}{\big[(X - \operatorname{E}[X])(Y - \operatorname{E}[Y])\big]}= \operatorname{E}((X - \mu) (Y - \nu))\,</math>

چنان‌که دو متغیر تصادفی [[مستقل]] باشند، کواریانس آنها صفر خواهد بود.

 

== خواص کواریانس ==

اگر <math> X ,Y ,W , V </math> متغیرهای تصادفی با مقادیر حقیقی باشند و <math> a ,b ,c ,d </math> اعداد ثابت غیر تصادفی باشند، آنگاه روابط زیر در مورد کواریانس برقرار است:

:<math>\operatorname{Cov}(X, a) = 0 \,</math>

: <math>\operatorname{Cov}(X, X) = \operatorname{Var}(X)\,</math>

: <math>\operatorname{Cov}(X+a, Y+b) = \operatorname{Cov}(X, Y)\,</math>

: <math>\operatorname{Cov}(aX+bY, cW+dV) = ac\,\operatorname{Cov}(X,W)+ad\,\operatorname{Cov}(X,V)+bc\,\operatorname{Cov}(Y,W)+bd\,\operatorname{Cov}(Y,V)\,</math>

می‌توانیم با استفاده از تعریف کواریانس رابطه‌ای برای محاسبهٔ آن پیدا کنیم<ref name="en.wikipedia.org">http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Covariance&oldid=437761640</ref>

:<math>\operatorname{Cov}(X, Y) = \operatorname{E}\left((X-\operatorname{E}(X))\cdot (Y-\operatorname{E}(Y))\right) = \operatorname{E}(X \cdot Y) -\operatorname{E}(X)\cdot \operatorname{E}(Y)</math>

اگر <math>X_1,\ldots,X_n</math> متغیرهای تصادفی و <math>a_1,\ldots,a_n</math> اعدادی ثابت باشند آنگاه:

: <math>\sigma^2\left(\sum_{i=1}^n a_iX_i \right) = \sum_{i=1}^n a_i^2\sigma^2(X_i) + 2\sum_{i,j\,:\,i<j} a_ia_j\operatorname{cov}(X_i,X_j) = \sum_{i,j} {a_ia_j\operatorname{cov}(X_i,X_j)}

</math>

== ناهمبستگی و استقلال ==

اگر کواریانس دو متغیر تصادف صفر باشد آن دو متغیر ناهمبسته نامیده می‌شوند.<ref>Introduction to Probability

 

== ماتریس کوواریانس ==

\operatorname{K}_{\mathbf{X}\mathbf{Y}} = \operatorname{cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y})

= \operatorname{E}

(\mathbf{Y} - \operatorname{E}[\mathbf{Y}])^\mathrm{T}\right]

= \operatorname{E}\left[\mathbf{X} \mathbf{Y}^\mathrm{T}\right] - \operatorname{E}[\mathbf{X}]\operatorname{E}[\mathbf{Y}]^\mathrm{T}

\mbox{cov}(\mathbf{X},\mathbf{Y})_{i,j} = \mbox{cov}(\mathbf{X}_i,\mathbf{Y}_j)

</math>.