مشتق: تفاوت میان نسخه‌ها
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
بدون خلاصۀ ویرایش |
ویرایش به‌وسیلهٔ ابرابزار: |
||
خط ۷۱:
نیوتون برای نشان دادن مشتق اول از <math>\dot{y} \!</math> و برای مشتق دوم از <math>\ddot{y} \!</math> استفاده می‌کرد. نمادهای نقطه‌دار نیوتون در برخی مسائل فیزیکی مانند [[سرعت]] و [[شتاب]] بکار می‌روند.
مشتق تابع <math>f \!</math> را با <math>f' \!</math> نیز می‌توان نشان داد. این نماد بر آن تأکید دارد که <math>f' \!</math> تابع جدیدی است که با مشتق‌گیری از تابع <math>f \!</math> بدست آمده‌است و مقدارش در <math>x \!</math> با <math>f'(x) \!</math> نموده می‌شود. مختصات <math>x \!</math> و <math>y \!</math> واقع بر نمودار <math>f \!</math> با معادلهٔ <math>y = f (x) \!</math> به هم مربوط می‌شوند، و علامت <math>y' \!</math> نیز برای نمایش <math>f'(x) \!</math> بکار می‌رود که مقدارش در <math>x \!</math> به صورت <math>y'_x \!</math> نوشته می‌شود. این نماد در سال ۱۷۷۰ میلادی توسط [[ژوزف لویی لاگرانژ]] مورد استفاده قرار گرفت و مشتق مراتب بالاتر را به صورت <math>f' \!</math> (مشتق اول)، <math>f'' \!</math> (مشتق دوم)، <math>f''' \!</math> (مشتق سوم)، <math>f^{(4)} \!</math> (مشتق چهارم)
در سال ۱۸۰۰ میلادی نماد دیگری توسط [[لوییس آربوگاست]] معرفی شد و توسط [[لئونارد اویلر]] مورد استفاده قرار گرفت. این نماد مشتق <math>f \!</math> را به شکل <math>\operatorname Df \!</math> نشان می‌دهد. علامت <math>\operatorname D \!</math> یک [[عملگر دیفرانسیلی]] است و این فکر را القا می‌کند که <math>\operatorname Df \!</math> تابع جدیدی است که با مشتق‌گیری از <math>f \!</math> بدست آمده‌است. مشتق مراتب بالاتر به صورت <math>\operatorname D^n f \!</math> و مقدار آن در <math>x \!</math> به صورت <math>\operatorname D^n f (x) \!</math> نوشته می‌شود.<ref>{{یادکرد کتاب | عنوان=حساب دیفرانسیل و انتگرال- دوره پیش دانشگاهی-رشته علوم ریاضی| نویسنده=محمد حسن بیژن زاده، وحید عالمیان، غلامعلی فرشادی | سال=۱۳۹۳ | ترجمه= | ناشر=شرکت چاپ و نشر کتاب‌های درسی ایران |شابک= 978-964-05-2009-3}}</ref>
خط ۹۴:
اگر تابع <math>f \!</math> در نقطهٔ <math>a \!</math> مشتق‌پذیر باشد، آنگاه در آن نقطه پیوسته نیز هست.
ولی عکس قضیهٔ فوق صحیح نمی‌باشد یعنی ممکن است تابع پیوسته باشد اما مشتق‌پذیر نباشد؛ به عبارت دیگر، پیوستگی تابع در <math>x = a \!</math> شرط لازم برای مشتق‌پذیری تابع است، نه شرط کافی. پس اگر تابع <math>f \!</math> در <math>a \!</math> ناپیوسته باشد، آنگاه در <math>a \!</math> مشتق‌پذیر نیست.<ref>{{Citation|author=Banach, S.|title=Uber die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen|journal=Studia. Math.|issue=3|year=1931|pages=174–179|postscript=.}}.
=== موارد مشتق‌ناپذیری ===
[[پرونده:Absolute value.svg|چپ|انگشتی|تابع قدر مطلق
مواردی که تابع در نقطهٔ مفروض <math>a \!</math> مشتق‌پذیر نیست:
# '''نقاط ناپیوسته:''' تابع در نقاط ناپیوسته مشتق‌ناپذیر است و از دید هندسی نمی‌توان در این نقاط مماس بر منحنی رسم کرد.
خط ۱۰۷:
== دامنهٔ تابع مشتق ==
منظور از دامنهٔ تابع مشتق مجموعهٔ نقاطی است که تابع در آن‌ها مشتق‌پذیر است. به‌طور کلی برای تابع <math>f \!</math> داریم:
:<math>\} \!</math> مجموعه نقاطی که <math>f' \!</math> در آن تعریف
== مشتق تابع نسبت به تابع ==
خط ۱۵۵:
\end{cases}</math>
{{پایان وسط‌چین}}
=== پادمشتق ===
اگر <math>f \!</math> تابعی پیوسته در بازهٔ <math>I \!</math> شامل نقطهٔ <math>a \!</math> باشد، آنگاه تابع <math>F \!</math> با دامنهٔ <math>I \!</math> و با ضابطهٔ:
سطر ۳۰۱ ⟵ ۳۰۲:
| image1 = Fa derivative3a.svg
| width1 =
| alt1 =
| caption1 =
| image2 = Fa derivative3b.svg
| width2 =
| alt2 =
| caption2 =
سطر ۳۱۵ ⟵ ۳۱۶:
{{وسط‌چین}}
:<math>\frac {f'(c)}{g'(c)} = \frac {f (b) - f (a)}{g (b) - g (a)} \!</math>
{{پایان وسط‌چین}}<ref>{{یادکرد کتاب | نویسنده=دکتر مسعود نیکوکار و بهمن عرب زاد | عنوان =حساب دیفرانسیل و انتگرال| جلد = اول | سال = ۱۳۸۴ | ناشر = انتشارات آزاده| شابک = 964-8020-47-7}}</ref>▼
▲<ref>{{یادکرد کتاب | نویسنده=دکتر مسعود نیکوکار و بهمن عرب زاد | عنوان =حساب دیفرانسیل و انتگرال| جلد = اول | سال = ۱۳۸۴ | ناشر = انتشارات آزاده| شابک = 964-8020-47-7}}</ref>
== کاربرد مشتق ==
خط ۳۸۳:
| direction = horizontal
| image1 = Fa derivative12.svg
| caption1 =
| width1 = <strong class="error">خطای عبارت: نویسه نقطه‌گذاری شناخته نشده «۰»</strong>
| image2 = Fa derivative8.svg
| caption2 =
| width2 = <strong class="error">خطای عبارت: نویسه نقطه‌گذاری شناخته نشده «۰»</strong>
}}
خط ۴۰۵:
در این حالت برای تشخیص اکید یا غیر اکید بودن تابع <math>f \!</math> ریشه‌های مشتق را بدست می‌آوریم، اگر ریشه‌های مشتق، تمام نقاط روی یک بازه باشند، تابع صعودی غیر اکید است و در غیر این حالت صعودی اکید است.
اگر تابع <math>f \!</math> پیوسته نباشد، دامنهٔ تابع را به فاصله‌هایی که تابع در آن‌ها
=== آزمون‌های مشتق ===
خط ۴۵۹:
بسیاری از مسائلی که در علوم تجربی و ریاضیات مطرح می‌شوند، در جستجوی یافتن مقادیر ماکزیمم و مینیممی هستند که یک تابع مشتق‌پذیر می‌تواند در دامنهٔ خاص اختیار کند و مشتق ابزار مناسبی برای یافتن این مقادیر است.
برای حل مسائل بهینه‌سازی لازم است ابتدا کمیت‌هایی مانند حجم، مساحت، فاصله
=== معادلات دیفرانسیل ===
{{اصلی|معادله دیفرانسیل}}
معادلات دیفرانسیل یک معادله ریاضی است و بیانگر یک تابع مجهول از یک یا چند متغیر مستقل و مشتق‌های مرتبه‌های مختلف آن نسبت به متغیرهای مستقل می‌باشد.
فرض کنید {{math|''f''}} تابعی معین از {{math|''x''}}
{{وسط‌چین}}
:<math>F\left (x,y,y',\cdots y^{(n-1)} \right)=y^{(n)}</math>
خط ۵۵۶:
* [[حد (ریاضی)]]
* [[پیوستگی]]
* [[انتگرال‌گیری]]
== منابع ==
| |||