|
# نقطه برخورد سه میانه (همرسی) [[مرکز جرم|مرکز ثقل]] مثلث است.
# در هر مثلت، هر میانه از مجموع دو میانه دیگر کوچک‌تر است.
== بدست آوردن طول یک ضلع مثلث با دانستن میانه‌ها ==
اثبات:با استفاده از فرمول میانهٔ مثلث می‌توان یک ضلع مثلث دلخواه را با داشتن سه میانهٔ آن بدست آورد.
a<sup>2</sup>/2 + 2m<sub>a</sub><sup>2</sup> = b<sup>2</sup> + c<sup>2</sup>
b<sup>2</sup>/2 + 2m<sub>b</sub><sup>2</sup> = a<sup>2</sup> + c<sup>2</sup>
c<sup>2</sup>/2 + 2m<sub>c</sub><sup>2</sup> = b<sup>2</sup> + a<sup>2</sup>
خط دوم و خط سوم را با هم جمع می‌زنیم.
2m<sub>b</sub><sup>2</sup> + 2m<sub>c</sub><sup>2</sup> = c<sup>2</sup>/2 +b<sup>2</sup>/2 + 2a<sup>2</sup>
4m<sub>b</sub><sup>2</sup> + 4m<sub>c</sub><sup>2</sup> = c<sup>2</sup> +b<sup>2</sup> + 4a<sup>2</sup>
4m<sub>b</sub><sup>2</sup> + 4m<sub>c</sub><sup>2</sup> - 4a<sup>2</sup> = c<sup>2</sup> +b<sup>2</sup>
با جایگذاری خط ششم در خط اول داریم:
4m<sub>b</sub><sup>2</sup> + 4m<sub>c</sub><sup>2</sup> - 4a<sup>2</sup>= a<sup>2</sup>/2 + 2m<sub>a</sub><sup>2</sup>
4m<sub>b</sub><sup>2</sup> + 4m<sub>c</sub><sup>2</sup> - 2m<sub>a</sub><sup>2</sup> = 4.5 a<sup>2</sup>
8/9m<sub>b</sub><sup>2</sup> + 8/9m<sub>c</sub><sup>2</sup> - 4/9m<sub>a</sub><sup>2</sup> = a<sup>2</sup>
<math>a = \sqrt {\frac{ 8m_b^2 + 8 m_c^2 - 4 m_a^2}{9} } </math>
<math>a = 2/3 \sqrt{{2 m_b^2 + 2 m_c^2 - m_a^2}} </math>
همین‌طور برای سایر اضلاع داریم:
<math>\begin{cases} a = 2/3 \sqrt{{2 m_b^2 + 2 m_c^2 - m_a^2}} \\ b = 2/3 \sqrt{{2 m_c^2 + 2 m_a^2 - m_b^2}} \\ c = 2/3 \sqrt{{2 m_a^2 + 2 m_b^2 - m_c^2}} \end{cases} </math>
==منابع==
| 