تابع محدب: تفاوت میان نسخه‌ها

۷ بایت اضافه‌شده ،  ۱ سال پیش
جز
بدون خلاصۀ ویرایش
جز (ربات:افزودن الگو ناوباکس {{آنالیز محدب}}+تمیز+)
جزبدون خلاصۀ ویرایش
برچسب‌ها: برگردانده‌شده ویرایشگر دیداری ویرایش همراه ویرایش از وبگاه همراه ویرایش پیشرفتهٔ همراه
[[پرونده:Grafico 3d x2+xy+y2.png|300px|بندانگشتی|نموداری از تابع محدب [[چندجمله‌ای]] <math>x^2+xy+y^2</math>.]]
 
در [[ریاضیات]]، '''تابع محدبکوژ''' {{انگلیسی|Convex Function}} (یا تابع کوژ<ref>{{یادکرد وب |url=http://www.srtc.ac.ir/fa/Dictionary/ |title=از اصطلاحات مورد استفادهٔ پژوهشکدهٔ آمار |accessdate=۱۹ دسامبر ۲۰۱۴ |archiveurl=https://web.archive.org/web/20140218092349/http://www.srtc.ac.ir/fa/Dictionary |archivedate=۱۸ فوریه ۲۰۱۴ |dead-url=yes}}</ref><ref>{{یادکرد وب|نشانی=http://www.persianacademy.ir/fa/word/|عنوان=فرهنگستان زبان و ادب فارسی|ناشر=www.persianacademy.ir|بازبینی=2016-10-14|archiveurl=https://web.archive.org/web/20141204150536/http://persianacademy.ir/fa/word/|archivedate=۴ دسامبر ۲۰۱۴|dead-url=yes}}</ref> {{انگلیسی|Convex Function}} یا گاهی تابع محدب، [[تابع حقیقی|تابع حقیقی-مقداری]] است که روی [[بازه|بازه ''n''-بعدی]] تعریف شده و [[پاره‌خط|پاره خط]] بین هر دو نقطه از [[نمودار تابع|نمودار]] آن بالای نمودار بین آن دو نقطه قرار گیرد. به طور معادل، یک تابع محدب است اگر [[اپی گراف|اپی‌گراف]] (مجموعه نقاط رو یا بالای نمودار تابع) آن [[مجموعه محدب|مجموعه ای محدب]] باشد. تابع تک متغیره، دوبار [[تابع دیفرانسیل‌پذیر|دیفرانسیل‌پذیر]] است اگر و تنها اگر [[مشتق]] دوم آن روی تمام دامنه نا-منفی باشد.<ref>{{Cite web|url=https://www.stat.cmu.edu/~larry/=stat705/Lecture2.pdf |title=Lecture Notes 2|website=www.stat.cmu.edu|access-date=3 March 2017}}</ref> مثال‌های شناخته شده از توابع محدب تک-متغیره شامل [[تابع مربعی]] <math>x^2</math> و [[تابع نمایی]] <math>e^x</math> می باشد. به بیان ساده، تابع محدب، تابعی است که به شکل <math>\cup</math> (cup) و [[تابع مقعر]] به شکل <math>\cap</math> (cap) است.
 
توابع محدب نقش مهمی را در بسیاری از مباحث ریاضی بازی می کنند. به‌خصوص در مطالعه مسائل [[بهینه‌سازی]] که توسط خواص مناسبی از بقیه توابع متمایز می شوند. به عنوان مثال، تابع اکیداً محدب روی یک مجموعه باز، بیش از یک مینیمم ندارد. حتی در فضاهای بی نهایت بعدی، تحت فرض‌های مناسب اضافی، توابع محدب هنوز هم خواص خود را حفظ کرده و نتیجتاً جزو شناخته شده ترین [[تابعی (ریاضیات)|تابعی‌ها]] در [[حساب تغییرات]] اند. در [[نظریه احتمالات]]، وقتی توابع محدب را بر روی [[امید ریاضی]] یک متغیر تصادفی اعمال می کنند، همیشه از بالا توسط امید ریاضی تابع محدب آن [[متغیر تصادفی]] محدود می شود، یعنی [[کران‌های بالا و پایین|کران بالای]] آن این مقدار است یا به بیان دقیق تر: <math>\operatorname{E}(f(X)) \geq f(\operatorname{E}(X))</math>. به خاصیت اخیر که در قالب یک نامساوی بیان شد، [[نابرابری ینسن|نامساوی جنسن]] (یا ینسن) گفته شده که می توان آن را جهت استنتاج نابرابری‌هایی چون [[نابرابری میانگین حسابی-هندسی]] و نابرابری هولدر نیز به کار برد.