قضیه هارتمن-گروبمن: تفاوت میان نسخه‌ها
محتوای حذف‌شده محتوای افزوده‌شده
جزبدون خلاصۀ ویرایش |
جزبدون خلاصۀ ویرایش |
||
خط ۲:
== قضیه اصلی ==
سیستمی را در نظر بگیرید که در زمان با حالت <math>u(t)\in\mathbb R^n</math>در حال تحول است که معادله دیفرانسیل <math>du/dt=f(u)</math> را برای برخی از [[همواری|نگاشت‌های هموار]] <math>f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math> ارضا می‌کند. فرض کنید نگاشت حالت تعادلی هذلولی‌وار <math>u^*\in\mathbb R^n</math> دارد: به این معنا که، <math>f(u^*)=0</math> و [[ماتریس ژاکوبی]] <math>A=[\partial f_i/\partial x_j]</math> از <math>f</math> در حالت <math>u^*</math> هیچ [[مقدارویژه و بردارویژه|مقدارویژه‌ای]] با قسمت حقیقی برابر با صفر ندارد. سپس همسایگی <math>N</math> از تعادل <math>u^*</math> و یک [[همسان‌ریختی]] <math>h : N \to \mathbb{R}^n</math> وجود دارد، به طوری که <math>h(u^*)=0</math> و به گونه‌ای که در همسایگی <math>N</math> [[شار (ریاضیات)|شار]] <math>du/dt=f(u)</math> از نظر [[مزدوج توپولوژی|مزدوج توپولوژیکی]] توسط نگاشت پیوسته <math>U=h(u)</math> برای [[شار (ریاضیات)|شار]] خطی‌سازی آن <math>dU/dt=AU</math> است.<ref>{{Cite journal|last=Grobman|first=D. M.|year=1959|title=О гомеоморфизме систем дифференциальных уравнений|trans-title=Homeomorphisms of systems of differential equations|journal=[[Doklady Akademii Nauk SSSR]]|volume=128|pages=880–881}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Hartman|first=Philip|author-link=Philip Hartman|date=August 1960|title=A lemma in the theory of structural stability of differential equations|journal=Proc. A.M.S.|volume=11|issue=4|pages=610–620|doi=10.2307/2034720|jstor=2034720|doi-access=free}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Hartman|first=Philip|year=1960|title=On local homeomorphisms of Euclidean spaces|journal=Bol. Soc. Math. Mexicana|volume=5|pages=220–241}}</ref><ref>{{cite book|first=C.|last=Chicone|title=Ordinary Differential Equations with Applications|volume=34|series=Texts in Applied Mathematics|publisher=Springer|edition=2nd|year=2006|isbn=978-0-387-30769-5}}</ref>
حتی برای نگاشت‌های بی‌نهایت مشتق‌پذیر <math>f</math> ، [[همسان‌ریختی]] <math>h</math> لازم نیست که هموار باشد، و نه حتی به صورت محلی لیپ‌شیتس. با این حال، به نظر می‌رسد [[پیوسته هلدر]] است، و یک توان وابسته به ثابت هذلولی‌وار <math>A</math> .<ref>{{Cite journal|last=Belitskii|first=Genrich|last2=Rayskin|first2=Victoria|year=2011|title=On the Grobman–Hartman theorem in α-Hölder class for Banach spaces|url=http://www.ma.utexas.edu/mp_arc/c/11/11-134.pdf}}</ref>
خط ۱۳:
: <math> \frac{dy}{dt} = -3y+yz\quad\text{and}\quad \frac{dz}{dt} = z+y^2.</math>
با محاسبه مستقیم می‌توان دریافت که تنها تعادل این سیستم در مبدأ قرار دارد، یعنی <math>u^*=0</math> . تبدیل
: <math>
| |||