آمار فرمی-دیراک: تفاوت میان نسخه‌ها

ویژگی پیوندهای پیشنهادی: ۷ پیوند افزوده شد.
(ویژگی پیوندهای پیشنهادی: ۷ پیوند افزوده شد.)
 
::<math> \bar{n}_i = \frac{1}{e^{(\epsilon_i-\mu) / k T} + 1} </math>
{{پایان چپ‌چین}}
که ''k'' [[ثابت بولتزمن]]، ''T'' [[دما]]ی مطلق، <math>\epsilon_i \ </math> انرژی یک ذره منفرد در حالت ''i'' و <math>\mu\ </math> [[پتانسیل شیمیایی]] است. در ''۰=T''، پتانسیل شیمیایی برابر با [[انرژی فرمی]] است. در حالتی که الکترون‌ها در یک‌ [[نیم‌رسانا|نیمه هادی]] قرار دارند <math>\mu\ </math> را [[تراز فرمی]] می‌نامیم.
 
توزیع فرمی-دیراک زمانی درست جواب می‌دهد که تعداد فرمیون‌ها آنقدر زیاد باشد که تغییر <math>\mu\ </math> ناشی از اضافه کردن یک فرمیون [[قابل صرف‌نظر|قابل صرف نظر]] کردن باشد. از آنجایی که توزیع فرمی-دیراک از اصل طرد پاولی مشتق شده، در نتیجه داریم: <math>0 <\bar{n}_i <1</math><ref>Note that <math> \bar{n}_i </math> is also the probability that the state <math>i</math> is occupied, since no more than one fermion can occupy the same state at the same time and <math>0 <\bar{n}_i <1</math>.</ref>
{{وسط‌چین}} <gallery caption="توزیع فرمی-دیراک" widths="400px" heights="200px">
Image:FD e mu.jpg|'''وابستگی به انرژی.''' هرچه ''T'' بالاتر باشد، شیب نمودار ملایم تر است. برای {{nowrap|1=<math> \bar{n}</math> = ۰٫۵}} وقتی {{nowrap|1=<math> \epsilon \;</math> = <math>\mu \; </math>.}} نشان داده نشده‌است زیرا <math>\mu \ </math> برای ''T'' بالاتر افزایش می‌یابد.<ref name='Kittel1971dist245'>{{harv|Kittel|1971|p=245, Figs. 4 and 5}}</ref>{{سخ}}{{وسط‌چین}}
 
=== کوانتوم و نظام کلاسیک ===
[[توزیع ماکسول-بولتزمن]] به عنوان تقریبی از آمار فرمی-دیراک برای مطالعه سیستم‌های فیزیکی که به اندازه کافی از حد تعیین شده توسط [[اصل عدم قطعیت|اصل عدم قطعیت هایزنبرگ]] فاصله دارند به دست می‌آید. شرایط کلاسیک که در آن آمار ماکسول-بولتزمان معتبر است، زمانی محقق می‌شود که فاصلهٔ متوسط میان دو ذره <math> \bar{R} </math>، خیلی بزرگتر از [[موج مادی|طول موج دوبروی]] <math> \bar{\lambda} </math> باشد.
{{چپ‌چین}}
:<math>\bar{R} \ \gg \ \bar{\lambda} \ \approx \ \frac{h}{\sqrt{3mkT}} </math>
{{پایان چپ‌چین}}
در اینجا <span style="font-size: large;"><math>h</math></span> [[ثابت پلانک]] و <span style="font-size: large;"><math>m</math></span> جرم ذره است.
در مورد الکترون‌های هادی در یک [[فلز]] معمولی در دمای ''300=T'' [[کلوین]] ([[دمای اتاق]]) سامانه همچنان از نظام کلاسیک دور است زیرا <math> \bar{R} \approx \bar{\lambda}/25 </math> است. این مسئله از جرم کوچک الکترون و تمرکز زیاد الکترون‌های هادی (<math>\bar{R}</math>) در فلز است؛ بنابراین آمار فرمی-دیراک برای الکترون‌های هادی در فلز مورد نیاز است.
 
نمونهٔ دیگری از سامانه‌های غیر کلاسیکی، الکترون‌های یک [[کوتوله سفید|کوتولهٔ سفید]] هستند. هر چند که دما در کوتولهٔ سفید بسیار بالا است (حدود ۱۰٬۰۰۰ کلوین در سطح آن) باز به دلیل تمرکز الکترون هادی در آن و جرم بسیار کوچک الکترون در نظام کلاسیک جای نمی‌گیرد و آمار فرمی-دیراک مورد نیاز است.