|
در هندسه، '''متوازی‌السطوح''' یک حجم هندسی است که از شش [[وجه (هندسه)|وجه]] تشکیل شده و هر یک از این وجه‌ها [[متوازی‌الاضلاع]] بوده و هر دو وجه مقابل متساوی و متوازی است. متوازی‌السطوح از انواع [[منشور (هندسه)|منشور]] است.
[[پرونده:Parallelepiped3.png|بندانگشتی|262x262پیکسل|'''متوازی‌السطوح''' با بردارها در [[فضای سه‌بعدی]]]]
== رابطه ==
=== چهار وجهی مربوطه ===
حجم هر چهار وجهی که دارای سه یال همگرای متوازی الاضلاع است، حجمی برابر با یک ششم حجم آن متوازی الاضلاع دارد.
=== رابطه متوازی السطوح با مکعب ===
حجم یک متوازی السطوح با ضلع های مساوی با مکعب باهم برابر اند.
== خواص ==
*هر یک از سه جفت وجه موازی را می توان به عنوان صفحات پایه منشور مشاهده کرد. یک متوازی الاضلاع دارای سه مجموعه از چهار یال موازی است. لبه های هر مجموعه دارای طول مساوی هستند.
*متوازی الاضلاع از تبدیل های خطی یک مکعب (برای موارد غیر انحطاط: تبدیل خطی دوطرفه) حاصل می شود.
*از آنجایی که هر وجه دارای تقارن نقطه ای است , متوازی الاضلاع یک زونهدرون است . همچنین کل متوازی الاضلاع دارای تقارن نقطه ای ''C <sub>i</sub>'' است (همچنین به triclinic مراجعه کنید ). هر صورت، از بیرون، تصویر آینه ای از چهره مقابل است. صورت ها به طور کلی کایرال هستند ، اما موازی شکل نیست.
*با رونوشت‌های همخوان از هر موازی‌پایه‌ای امکان‌پذیر است که فضا را پر کند.
*اگر همه ضلع های مکعب را به یک زاویه برابر مورب کنیم به یک متوازی السطوح تبدیل می شود که تمام وجه هایش لوزی است و مساحت وجه های متوازی السطوح با با مساحت وجه های مکعب برابر است.
*متوازی السطوح از انواع منشورها است
*متوازی السطوح را می توان یکی از چندوجهی ها گفت
== حجم ==
حجم
متوازی السطوح حجمی است که از سه بردار سه بعدی a,b,cدرست شده است و با ضرب خارجی بردار ها درست شده است.
حجم متوازی السطوح بستگی به تتا آن که بر حسب رادیان و درجه است دارد و چون اضلاع آنa,b,cاست بر اساس این رابطه است.
'''حجم متوازی السطوح:'''<math>V=a b c \sqrt{K}</math>'''
[[پرونده:Parallelepiped volume.svg|بندانگشتی|262x262پیکسل|اضلاع متوازی السطوح بر اساسa,b,c]]
برای محاسبه حجم متوازی السطوح به kنیاز است که مقدارk براساس این رابطه بدست می آید
<math display="block">\begin{align} ▼=== محاسبه حجم ===
K = 1 &+ 2\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma) \\
ابتدا متوازی السطوحی رسم می کنیم که در فضای برداری باشد و در فضای سه بعدیR<sup>3</sup>قرار می دهیم.بردار های آن اینگونه است که:
&- \cos^2(\alpha) - \cos^2(\beta) - \cos^2(\gamma)
\end{ bmatrixalign} \right| .</math> ▼# <math>S = \left|\mathbf a\right| \cdot \left|\mathbf b\right| \cdot \sin \gamma = \left|\mathbf a \times \mathbf b\right|</math>
# <math>h = \left|\mathbf c\right| \cdot \left|\cos \theta\right|</math>
محاسبه حجم اینگونه است مساحت قاعده بر اساس مساحت متوازی الاضلاع بدست آید و ارتفاع آن بر اساس رابطه فیثاغورس بدست آید.پس حجم متوازی السطوح برابر با این رابطه است.
<math display="block">V = B\cdot h = \left(\left|\mathbf a\right| \left|\mathbf b\right| \sin \gamma\right) \cdot \left|\mathbf c\right| \left|\cos \theta\right| = \left|\mathbf a \times \mathbf b\right| \left|\mathbf c\right| \left|\cos \theta\right| = \left|\left(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\right) \cdot \mathbf{c}\right|.</math>
کسینوس تتا و سینوس تتا در محاسبه قدر مطلق برابر با یک می شود،قدرمطلق مساحت برداری هایa,b,cبرابر با خودشان است.
می توان به روش عمیق تری حجم آن را بدست آورد،ضرب داخلی بردار های خارجی که با ضرب خارجی این سه بردار متوازی السطوح را بدست آورند این گونه است.<math>\mathbf a=(a_1,a_2,a_3)^\mathsf{T}, ~\mathbf b=(b_1,b_2,b_3)^\mathsf{T}, ~\mathbf c=(c_1,c_2,c_3)^\mathsf{T},</math>حجم برابر است
<math>V = \left| \det \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3
▲ \end{bmatrix} \right| .</math>
که همان برابر با این رابطه است.<math display="block">V=\left|\left(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\right) \cdot \mathbf{c}\right|.={\displaystyle \left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|.}</math>راه دیگر برای اثبات '''(''' V1 ''')''' استفاده از مولفه اسکالر در جهت استa×b
از بردار:a,b,c
▲<math display="block">\begin{align}
V = \left|\mathbf a\times\mathbf b\right| \left|\operatorname{scal}_{\mathbf a \times \mathbf b} \mathbf c\right|
= \left|\mathbf a\times\mathbf b\right| \frac{\left|\left(\mathbf a\times \mathbf b\right) \cdot \mathbf c\right|}{\left|\mathbf a\times \mathbf b\right|}
= \left|\left(\mathbf a\times \mathbf b\right) \cdot \mathbf c\right|.
\end{align}</math>نتیجه بر این است.
با استفاده از روش قدر مطلق و محاسبه ضرب داخلی و خارجی بردارها به مقداری به نامkنیاز است.kمقداری است که بر اساس زاویه های لبه متوازی السطوح بدست می آید.که به صورت جذر آن درحجم متوازی السطوح به کار می رود.
مقدار kبراساس این رابطه بدست می آید.<math display="block"> K={1+2\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma)-\cos^2(\alpha)-\cos^2(\beta)-\cos^2(\gamma)},</math>مقدار جذر آن این گونه است<math display="block"> \sqrt{K}=\sqrt{1+2\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma)-\cos^2(\alpha)-\cos^2(\beta)-\cos^2(\gamma)},</math>
حجم آن براساس این رابطه نوشته می گردد.<math display="block"> V=abc\sqrt{1+2\cos(\alpha)\cos(\beta)\cos(\gamma)-\cos^2(\alpha)-\cos^2(\beta)-\cos^2(\gamma)},</math>که می توان این گونه نوشت<math display="block"> V=abc\sqrt{K}</math>
== مساحت ==
مساحت یک متوازی السطوح براساس جمع مساحت شش متوازی الاضلاع بدست می آید که براساس این رابطه نوشته می گردد<math display="block">\begin{align}
A &= 2 \cdot \left(|\mathbf a \times \mathbf b| + |\mathbf a \times \mathbf c| + |\mathbf b \times \mathbf c|\right) \\
&= 2\left(ab\sin\gamma+ bc\sin\alpha+ca\sin\beta\right).
\end{align}</math>مساحت متوازی السطوح مثل مساحت مکعب مستطیل بدست می آید،مکعب،مکعب مستطیل از احجام منشوری است که به صورت برداری کشیده اند.
به صورت دیگر هم مساحت آن پیدا می گردد که به صورت مساحت متوازی الاضلاع بدست می آید
برای پیدا کردن مساحت متوازی السطوج بر اساس a,b,c اینگونه است.
<math>x,y,z</math>=مقداری است که بر اساس تتا زیر جزئی از طول های به ترتیب b,c است
اگر این دو رابطه را محاسبه کنیم به این نتیجه می رسیم<math display="block">\begin{align}
A &= 2 \cdot \left(|\mathbf a \times \mathbf b| + |\mathbf a \times \mathbf c| + |\mathbf b \times \mathbf c|\right) \\
&= 2\left(ab\sin\gamma+ bc\sin\alpha+ca\sin\beta\right).
\end{align}={\displaystyle 2{(ah+bh'+ch'')}}</math>
[[پرونده:Parallelepiped.png|بندانگشتی|262x262پیکسل]]
| 