در [[ریاضیات]]، '''معادلات كوشی-ریمان''' در [[آنالیز مختلط]] كه به احترام ]]][[آگوستین لوییز كوشی[[[]] و ]][[برنارد ریمان[[]] نام گذاری شده اند،شده‌اند، دو ]][[معادله‌ی مشتق جزئی[[]] هستند كه [[شرط لازم و كافی|شرط لازم ''ولی نه كافی'']] را برای [[تابع هلومورفیك|هلومورفیك]] بودن یك [[تابع]] فراهم می‌كنند. با شرایط اضافی مانند اینكه بخشهای حقیقی و موهومی تابع – توابع حقیقی ''<math>u''</math> و ''<math>v''</math> – مشتقات جزئی پیوسته داشته باشند، برقراری معادلات، معادل می‌شود با تحلیلی بودن تابع مختلط. این مجموعه از معادلات اولین بار در کارهای D'Alembert[[دالامبر]] در ۱۷۵۲ ظاهر شد. بعداً در ۱۷۷۷،Euler۱۷۷۷، [[اویلر]] این مجموعه را به توابع تحلیلی متصل کرد. کوشی این معادلات را برای ساخت تئوری توابع خود در ۱۸۱۴ به کار برد. رسالهٔ کوشی در مورد تئوری توابع در ۱۸۵۱ منتشر شد.
==شکل گیری==
فرض کنید <span dir=ltr>''f''(''x'' + ''iy'') = ''u'' + ''iv''</span> یک تابع از یک [[http://en.wikipedia.org/wiki/Open_subset|مجموعه باز]] از [[عددمختلط|اعداد مختلط]] '''<math>\mathbb{C'''}</math> به '''<math>\mathbb{C'''}</math> باشد که در آن x،y،u<math>x</math> ،<math>y</math> ،<math>u</math> و <math>v</math> [[عدد حقیقی|حقیقی]] اند (<math>u</math> و <math>v</math> توابع حقیقی-مقدار تعریف شده بر یک زیر مجموعه باز از '''R'''<supmath>2\mathbb{R}</supmath>. آنگاه <math>f</math> هلوموفیک است اگر و تنها اگر <math>u</math> و <math>v</math> به طور پیوسته مشتق پذیر باشند و مشتقات جزئی آنها در معادلات کوشی ریمان که
:<math>{ \partial u \over \partial x } = { \partial v \over
\partial y } </math>
خط ۱۱:
:<math>{ i { \partial f \over \partial x } } = { \partial f \over
\partial y } . </math>
با توجه به معالات، اگر ''<math>u''</math> و ''<math>v''</math> دوبار مشتق پذیر باشند آنگاه مادامی که در [[معادلات لاپلاس]] صدق می کنند باید [[تابع همساز|توابع همساز]] باشند. بنابراین معدلات می توانند به صورتی شرایطی بر روی یک جفت تابع همساز دیده شوند که بتوانند به عنوان بخشهای حقیقی و موهومی یک تابع مختلط تحلیلی به کار روند. برای یک تابع داده شدهٔ همساز ''<math>u''</math>، یک تابع همساز نظیر مانند ''<math>v''</math>، یک همساز توأم نامیده می شود. اگر وجود داشته باشد، حداکثر یا یک عبارت ثابت منحصر بفرد است.
== مثال ==
فرض کنید مختلط ''<math>f''</math> بر روی مجموعه باز ''D'' تحلیلی باشد. آنگاه ''<math>f''</math> در معدلات گوشیکوشی-ریمان صدق می کند. یعنی اگر <math>f(x +
iy) = u(x, y) + iv(x, y)</math> آنگاه
:<math>{\partial u \over \partial x} = {\partial v \over \partial
خط ۲۷:
y} = {\partial v \over \partial x} ={\partial v \over \partial y} =
0</math>.
این نشان می دهد که ''<math>f''</math> بر روی ''D'' '''به طور محلب ثابت''' است، و ثابت است اگر ''D'' همبند باشد.
== مشتق گیری ==
تابع <span dir=ltr>''f''(''z'') = ''u''(''x'', ''y'') + i ''v''(''x'',
