هندسه اقلیدسی: تفاوت میان نسخه‌ها

'''هندسهٔ اقلیدسی''' به مجموعهٔ گزاره‌هایِ هندسی‌ای اطلاق می‌شود که به بررسی موجودات [[ریاضیات]]ی مثل [[نقطه]] و [[خط (ریاضی)|خط]] می‌پردازد و بر پایه‌هائی که [[اقلیدس]] ریاضی‌دان یونانی در کتاب خود به‌نام [[اصول اقلیدس (کتاب)|اصول]] عرضه کرده، بنا شده‌است. این قضایایِ هندسی عمدتاً توسطِ یونانیانِ باستان کشف و توسطِ اقلیدسِ اسکندرانی گردآوری شده‌اند و بخش بزرگی از آن همان است که در دبیرستان‌ها تدریس می‌شود. کتابِ «اصولِ» اقلیدس یکی از بزرگ‌ترین و تأثیرگذارترین کتاب‌ها چه بلحاظِ محتوا و چه از نظرِ روشِ [[اصلِ موضوعه]]‌ای‌اش بوده‌است. تا قرن نوزدهم میلادی هر وقت از هندسه سخن می‌رفت منظور هندسه اقلیدسی بود. بررسی مفاهیم هندسه اقلیدسی در دو [[بعد]] را «هندسه مسطحه» و در سه بعد «هندسه فضائی» می‌نامند. این مفاهیم را به ابعاد بالاتر از سه نیز می‌توان تعمیم داد و همچنان آن را هندسه اقلیدسی نامید.

 

در حدود ۳۰۱ سال قبل از میلاد دنیای [[هندسه]] در تب و تاب بود. نظرات مختلفی در زمینهٔ هندسه وجود داشت و سرانجام اقلیدس با انتشار کتاب [[اصول (کتاب)|اصول]] بنیادی را بنا نهاد که تا قرن‌ها منسجم‌ترین بنیادهای نظری بشر محسوب می‌شود. روش اقلیدس ساده بود او چند [[اصل موضوع]] و چند [[اصل متعارف]] را بدون اثبات به عنوان اصول بدیهی پذیرفت و سپس بر اساس آن صدها قضیه دیگر را اثبات کرد که بیشتر آن‌ها بسیار دور از ذهن بودند.

 

اقلیدس شاگرد مکتب افلاطون بود. او در اصول سیزده جلدی خود تمام دانش بشری تا آن زمان گرد آورد و به مدت دو هزار سال مرجعی بی‌بدیل باقی ماند. روش بنداشتی (اصل موضوع) اقلیدس منجر به کاربرد الگویی شد که امروزه به آن [[ریاضیات محض]] می‌گوییم. محض از این نظر که با اندیشهٔ محض سر و کار دارد و از راه آزمون خطا و تجربه به دست نمی‌آید و درستی یا نادرستی احکام آن را نیز از راه تجربه نمی‌توان اثبات یا نفی کرد.

برای استفاده از روش بنداشتی یا اصل موضوع دو شرط را باید پذیرفت:

* شرط اول: پذیرفتن احکامی به نام [[بنداشت]] یا اصل موضوع که به هیچ توجیه دیگری نیاز نداشته باشند.

کار عظیم اقلیدس این بود که چند اصل ساده، چند حکم که بی‌نیاز به توجیهی پذیرفتنی بودند دست‌چین کرد، و از آن‌ها ۴۶۵ گزاره نتیجه گرفت. زیبایی کار اقلیدس در این است که این همه را از آن اندک نتیجه گرفت.

 

{{اصلی|اصول موضوعه هندسه اقلیدسی}}

تمامِ هندسهٔ اقلیدسی (تمامِ قضیه‌هایی که در دبیرستان می‌خوانیم، قضیهٔ فیثاغورس و غیره) می‌توانند از پنج [[اصلِ موضوعه|اصلِ موضوعهٔ]] زیر استخراج شوند:

برایِ بیانِ این اصولِ موضوعه به مفاهیمی مانندِ نقطه و خط نیاز داریم. همان‌طور که باید چند گزاره را بدونِ [[اثبات]] بپذیریم تا بقیهٔ گزاره‌ها استخراج شوند لازم است چند مفهوم را نیز بدونِ تعریف بپذیریم. به این مفاهیم «[[تعریف‌نشده‌ها]]» می‌گویند. همان‌طور که دیده می‌شود اصولِ هندسهٔ اقلیدسی به جز اصلِ پنجم بسیار ساده و بدیهی به نظر می‌آیند. به همین‌دلیل از زمانِ اقلیدس ریاضیدانانِ بیشماری در شرق و غرب (من‌جمله [[خیام]] ریاضیدانِ ایرانی) تلاش کرده‌اند اصلِ آزاردهندهٔ پنجم را به اثبات برسانند. این کار همواره شکست خورده‌است. سپس برخی ریاضیدانان تلاش نمودند خلافِ اصلِ پنجم را فرض کنند تا ببینند آیا هندسه‌ای متناقض پدید می‌آید یا نه. از آن‌جا که هیچ [[تناقض]]ی در هندسه‌هایِ دارایِ اصلِ پنجمِ متفاوت دیده نشد به آن‌ها نامِ [[هندسه نااقلیدسی]] را دادند. در نتیجه این مسأله مطرح گردید که تجربه کدام هندسه را تأیید می‌کند. نظریهٔ [[نسبیت عام]] به این پرسش پاسخ می‌دهد.

 

# دو مقدار مساوی بامقدار سوم با هم مساوی اند.

# اگر به دو مقدار مساوی مقادیر مساوی اضافه کنیم، حاصل جمع‌ها با هم مساوی اند.

# کل از جزء بزرگ‌تر است.

 

۲۱۰۰ سال پس از اقلیدس هندسهٔ او یگانه هندسهٔ موجود بود. با این وجود در طی این مدت طولانی [[فهرست ریاضیدانان|ریاضی‌دان‌ها]]ی زیادی کوشیدند [[اصل پنجم]] را از روی سایر اصل اثبات کنند که این کوشش‌ها سرانجام به نتیجهٔ دیگری منجر شد و در اوایل قرن نوزدهم هندسه‌های جدیدی به وجود آمد که [[هندسه نااقلیدسی|هندسه‌های نااقلیدسی]] نامیده می‌شود.

هندسه‌ای که تنها بر اساس چهار اصل اول اقلیدس ساخته می‌شود [[هندسه نتاری]] نامیده می‌شوند.

[[دیوید هیلبرت]] در آخرین سال قرن نوزدهم (۱۸۹۹) کتاب «مبانی هندسه» خود را نوشت. هیلبرت در این کتاب صورت‌بندی دقیق‌تری از هندسهٔ اقلیدسی ارائه دارد.

 

<gallery>

Image:Pythagorean.svg|<!--'''[[قضیه فیثاغورس]]''': The sum of the areas of the two squares on the legs (''a'' and ''b'') of a right triangle equals the area of the square on the hypotenuse (''c''). -->

</gallery>

 

* [[چهار ضلعی ساکری]]

* [[اصل توازی پلی‌فیر]]

* [[هندسه بیضوی|هندسهٔ بیضوی]]

 

{{پانویس}}

 

* {{یادکرد|فصل=|کتاب=[[هندسه‌های اقلیدسی و نااقلیدسی (کتاب)|هندسه‌های اقلیدسی و نااقلیدسی]]

|نویسنده = گرینبرگ، ماروین جی|ترجمه=[[محمد هادی شفیعیها|م. ه. شفیعیها]]|ناشر =[[مرکز نشر دانشگاهی]]|چاپ= دوم|شهر= [[تهران]]|ویرایش= ویراستهٔ [[احمد بیرشک]]، حمید کاظمی، همایون معین|صفحه= |سال= ۱۳۶۳|شابک=}}

# [[پرویز شهریاری|شهریاری، پرویز]]، ''هندسه در گذشته و حال''، انتشارات سیمرغ.

 

{{هندسه}}

 

 

{{Link GA|fr}}

[[af:Euklidiese meetkunde]]

[[ar:هندسة أقليدية]]