باز کردن منو اصلی

در ریاضیات، بافه ساختاری است که کاربردهای گوناگونی در شاخه‌های متفاوتی همچون هندسه جبری، آنالیز مختلط و توپولوژی جبری دارد.

محتویات

تعریفویرایش

فرض کنید فضای توپولوژیک   و یک رده   داده شده‌است. در این حال، می‌توان رده زیر مجموعه‌های باز   را این‌گونه تعریف کرد که عبارت است از رده‌ای که آن را   می‌نامیم و سازه‌ها یا اشیا آن زیرمجوعه‌های باز   و ریختارهای این رده نگاشتهای شمول در میان مجموعه‌های باز هستند. به زبان دیگر اگر   و   دو زیرمجموعه باز   باشند و  ، آنگاه یک ریختار در   عبارت است از یک نگاشت یک به یک  . یک پیش بافه روی   با مقادیر در   عبارت است از یک عملگر پادجهت   از رده   به رده  . به سخن دیگر، یک پیش بافه معادل است با:

۱. برای هر زیرمجموعه باز   یک شی   در رده  .

۲. برای هر شمول   یک ریختار   به نام نگاشت تحدید به گونه‌ای که:

  • برای هر مجموعه باز   نگاشت   برابر با نگاشت همانی   است.
  • برای هر سه زیرمجموعه باز با رابطه  ، داشته باشیم: .

رده   معمولاً یکی از رده‌های مجموعه‌ها، گروه‌های آبلی یا حلقه‌ها است و نگاشت‌های   نیز به ترتیب تابع‌ها، همریختی‌های گروهی یا همریختی‌های حلقه‌ای هستند.

اگر   یک پیش بافه روی   باشد، منظور از یک برش   روی  ، یک عضو   می‌باشد. همچنین اگر   یک برش روی   باشد، برای آسانی نوشتار از نویسه   به جای   بهره می‌گیریم.

اکنون ابزارهای لازم برای تعریف بافه را در دست داریم:

تعریف (بافه): یک بافه   روی فضای توپولوژیک   عبارت است از یک پیش بافه روی   که شرایط اضافی زیر را ارضا می‌کند:

۱. (موضعی بودن): اگر   یک پوشش باز   باشد و اگر   به گونه‌ای باشند که   برای هر   آنگاه  .

۲. (ویژگی چسبندگی): اگر   یک پوشش باز   باشد و برای هر   یک برش   داده شده باشد که برای هر   و   از این پوشش، داشته باشیم:  ، آنگاه یک برش   وجود دارد که:   برای هر  .

نمونه‌هاویرایش

  • اگر   یک فضای توپولوژیک دلخواه باشد، بافه تابع‌ها روی   بافه‌ای است که به هر زیرمجموعه باز   مجموعه تابع‌های حقیقی روی   را نظیر می‌کند یعنی  و نگاشت تحدید   در اینجا همان تحدید تابع‌ها است. به دیگر سخن اگر   تابعی روی   باشد و   آنگاه   و چون   تابعی روی   است، بنابر تعریف:  .
  • اگر   فضای توپولوژیک اعداد مختلط باشد، بافه توابع هولومورف روی  که آن را با   نشان می‌دهیم عبارت است از بافه‌ای که به هر زیر مجموعه باز ناتهی   مجموعه تابعهای هولومورف روی   را نسبت می‌دهد. در این جا،   همان تحدید تابع‌ها می‌باشد. به زبان دیگر اگر   تابعی هولومورف روی   باشد و   آنگاه:   و چون   تابعی هولومورف است تحدید آن به زیر مجموعه   هم هولومورف خواهد بود یعنی  .

ریختارهاویرایش

میان هر دو بافه، می‌توان یک ریختار تعریف کرد. اگر   و   دو بافه روی   باشند، یک ریختار  عبارت است از:

  • برای هر زیرمجموعه باز  ، یک ریختار  در رده  .
  • برای هر شمول  ، رابطه  برقرار است.

در اینجا،   نگاشت تحدید   و   نگاشت تحدید   است.

بافه‌سازیویرایش

در حالت کلی پیش بافه‌ها، بافه نیستند. یعنی می‌توان پیش بافه‌هایی را یافت که شرایط اضافی بافه بودن را رعایت نمی‌کنند. برای نمونه روی  ، نگاشتی که به هر زیرمجموعه باز   گروه آبلی   را نسبت می‌دهد یک پیش بافه است ولی یک بافه نیست. دلیل این امر این است که اگر مجموعه باز   را با   و   در نظر بگیریم، برش   روی   و برش   روی   را نمی‌توان به هم چسباند. به همین دلیل تلاش می‌شود که به هر پیش بافه، یک بافه نسبت داده شود و به این روند، بافه سازی گفته می‌شود. به زبان دیگر اگر   یک پیش بافه روی   باشد، می‌توان یک بافه   روی   ساخت که برای هر بافه   روی  ، مجموعه ریختارهای پیش بافه‌ای   با مجموعه ریختارهای بافه‌ای   برابر شود. به دیگر سخن: 

منابعویرایش

  • Francisco Miraglia: An Introduction to Partially Ordered Structures and Sheaves. Polimetrica, Milan 2006
  • Bredon, Glen E. (1997), Sheaf theory, Graduate Texts in Mathematics 170 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag
  • Hirzebruch, Friedrich (1995), Topological methods in algebraic geometry, Classics in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag