تابع پاسخ فرکانسی

تابع پاسخ فرکانسی (FRF)

به تابعی که از تقسیم پاسخ سازه به بار وارد شده متناظر بدست می آید، تابع پاسخ فرکانسی می گویند.

$H(\omega )=X/F$

در رابطه‌ی بالا H تابع پاسخ فرکانسی، X پاسخ سازه و F بار ورودی بر سازه در دامنه‌ی فرکانسی می‌باشد.

شکل(1)تابع پاسخ فرکانسی _{( بخش موهومی، بالا) ( بخش حقیقی،پایین)}

مقدمه

در علوم دینامیک سازه و ارتعاشات ،که زیر شاخه ای از علم فیزیک می باشند، یکی از بزرگترین چالش‌های موجود، یافتن ضرایب میرایی، فرکانس‌های طبیعی و شکل‌مودهای سازه است. یکی از روش‌های تجربی یافتن این مقادیر، استفاده از تابع پاسخ فرکانسی است. البته یافتن شکل مودها، بستگی به محل قرار دادن وسایل اندازه گیری( شتاب سنج، سرعت سنج و یا مکان یاب) برروی سازه دارد.

به طور کلی می توان تابع پاسخ فرکانسی را به صورت زیر تعریف نمود:

به تابعی که از تقسیم پاسخ سازه به بار وارد شده متناظر بدست می آید، تابع پاسخ فرکانسی می گویند. توجه داشته باشید که بار وارد شده حتما می‌بایست از دامنه‌ی زمانی به دامنه‌ی فرکانسی تبدیل شده باشد. این امر با استفاده از تبدیل فورریه‌ی سریع (FFT) امکان پذیر است.

پاسخ سازه و بار ورودی (Input & Output)

پاسخ اندازه‌گیری شده (Output) می تواند یکی از موارد زیر باشد:

1-مکان متناسب با نیروی وارد شده 

2-سرعت متناسب با نیروی وارد شده

3- شتاب متناسب با نیروی وارد شده

توجه داشته باشید که مکان اندازه‌گیری این مقادیر، باید به گونه‌ای انتخاب شوند که، با تقریب مناسب، نماینده‌ی رفتار کلی سازه باشند.

شکل(2) بار ضربه در دامنه‌ی زمانی و فرکانسی

بار ورودی یا به عبارت کوتاه تر، ورودی سازه (Input)، می‌تواند به بی‌نهایت شکل متفاوت به سیستم وارد شود. به عنوان مثال می‌توان با استفاده از یک دستگاه ارتعاش کننده، یک بار هارمونیک سینوسی '''''بدون میاریی''''' به سیستم وارد نمود. یا می توان یک بار هارمونیک سینوسی '''''با میاریی''''' به سیستم وارد کرد. همچنین بارهایی مانند ضربه، انفجار، انواع بار های منظم و نا‌منظم، با و بدون دوره‌ی تناوب و ... را می توان به عنوان ورودی سیستم وارد نمود. نکته‌ی اساسی در انتخاب نوع بار ورودی به سیستم به دو عامل زیر بستگی دارد:

1- امکان پذیری اعمال بار بر سازه و یا سیستم مورد نظر (وسیله‌ی ارتعاش)

شکل(3) بار سینوسی با میرایی در دامنه‌ی زمانی و فرکانسی

2- فرکانس تحریک مورد نیاز

امکان پذیری اعمال بار بر سازه و یا سیستم مورد نظر(وسیله‌ی ارتعاش)

منظور از امکان پذیری اعمال بار بر سازه و یا سیستم مورد نظر چیست؟

به عنوان مثال اگر یک ساختمان را در نظر بگیریم، نمی توان با استفاده از یک چکش، نیرویی به آن وارد نمود که در تمام طبقات آن فرکانس مورد نیاز ما را فراهم کند.

فرکانس تحریک مورد نیاز

منظور از فرکانس تحریک مورد نیاز چیست؟

برای یافتن ضرایب میرایی، فرکانس های طبیعی و شکل مودهای سازه، می بایست سازه در فرکانس متناسب با فرکانس طبیعی

شکل(4) بار سینوسی بدون میرایی در دامنه‌ی زمانی و فرکانسی

اش، ارتعاش کند. بنابراین نیرویی نیاز است که بتواند در تمام فرکانس های طبیعی، سازه را به ارتعاش در آورد. به عبارت دیگر، اگر از بار وارد بر سیستم تبدیل فوریه‌ی سریع بگیریم و دامنه زمانی را به فرکانسی تبدیل کنیم، فرکانس های تحریک شده می‌بایست در برگیرنده‌ی فرکانس های طبیعی سیستم باشند. بنابراین از نظر اقتصادی و زمانی بهتر است که با وارد نمودن یک نوع بار، فرکانس های بیشتری را تحریک کنیم.

در ادامه نوع بار وارده و فرکانس های تحریک متناظر آن با توجه به نوع بار ورودی، نشان داده شده است. مشاهده می‌شود که بار از نوع ضربه، می تواند در تمامی فرکانس ها، تحریک ایجاد کند.

رسم تابع پاسخ فرکانسی (FRF)

همانطور که گفته شد، با استفاده از تابع پاسخ فرکانسی می‌توان فرکانس طبیعی، شکل مود و ضریب میرایی سازه را بدست آورد.

شکل مد را می توان از داده های حاصل از پاسخ سازه در فرکانس های طبیعی سیستم استخراج نمود، بنابراین ابتدا می‌بایست فرکانس های طبیعی سازه را بدست آورد.

همانگونه که در شکل(1) مشاهده می‌کنید، در سیستم های دارای میرایی، پاسخ فرکانسی سازه دارای دو بخش حقیقی و موهومی می‌باشد.

• 
  شکل(1)تابع پاسخ فرکانسی _{( بخش موهومی، بالا) ( بخش حقیقی،پایین)}

فرکانس‌های طبیعی، فرکانس‌هایی هستند که در آنها بخش حقیقی تابع پاسخ فرکانسی برابر با صفر می‌شود.

مشاهده می‌شود که نمودار موهومی تابع پاسخ فرکانسی در این فرکانس ها، قله هایی را تشکیل داده اند. پس‌از مشخص شدن فرکانس های طبیعی، می‌توان شکل مودهای سازه را از بخش موهومی تابع پاسخ فرکانسی بدست آورد. برای اینکار لازم است چندین تابع پاسخ فرکانسی رسم نمود. به عبارت دیگر برای این کار لازم است تابع پاسخ فرکانسی را برای تعداد نقاط مشخصی از سازه رسم نمود. به بیان ساده تر، می‌بایست پس از مشخص نمودن مکان های مناسب برای اندازه‌گیری پاسخ سازه، برای هر کدام از این محل ها، تابع‌ پاسخ‌ فرکانسی رسم شود.

محاسبه‌ی نسبت میرایی سازه (کِسای ξ)

شکل(4) محاسبه‌ی نسبت میرایی ξ

برای محاسبه‌ی نسبت میرایی سازه در هر فرکانس طبیعی، از روش half-power bandwidth استفاده می‌شود. در این روش مقدار بیشینه‌ی بخش موهومی تابع پاسخ فرکانسی محاسبه شده و سپس به اندازه‌ی سه دسی بل، معادل با $1/{\sqrt {2}}$ از بیشینه‌ی بخش موهومی تابع پاسخ فرکانسی به پایین آمده، خطی عمود بر محور فرکانس رسم می‌کنیم تا بخش موهومی تابع پاسخ فرکانسی را به در نقطه قطع کند.

حال به سراغ محاسبه‌ی کسای (ξ) یا همان نسبت میرایی به میرایی بحرانی می رویم.

${\textstyle Q=f_{0}/(f_{2}-f_{1})}$

${\textstyle \xi =2/Q}$

$\xi =(f_{2}-f_{1})/2f_{0}$

$\xi =c/(2{\sqrt {km}})$

در ادامه به تحلیل تابع پاسخ فرکانسی یک سیستم یک درجه آزادی می پردازیم تا با کمیت ها و فرمول های نگارشی آن بیشتر آشنا شویم.

معادله‌ی حرکت

در دینامیک سازه و ارتعاشات، معادله‌ی حرکت یک سیستم یک درجه آزادی به صورت زیر می‌باشد:

$M{\ddot {x}}(t)+C{\dot {x}}(t)+Kx(t)=F(t)$

در این معادله‌، M جرم سیستم، C میرایی سیستم، K سختی سیستم و F نیروی خارجی وارد بر سیستم می‌باشد. ${\textstyle x(t)}$، ${\dot {x}}(t)$ و ${\ddot {x}}(t)$ به ترتیب بیانگر میدان مکان، سرعت و شتاب سیستم می‌باشند.

همانطور که مشاهده می‌کنید، معادله‌ی حرکت، یک معادله‌ی دیفرانسیل مرتبه‌ی دوم درجه یک می‌باشد. روش عمومی حل این معادله با فرض پاسخ $x(t)=Ae^{\lambda t}$ شروع می‌شود. فرض این پاسخ بر اساس مشاهده‌ی رفتار  هارمونیک خطی سیستم، صحیح است. همچنین در ادامه فرض شده است که فرکانس نیروی خارجی و فرکانس طبیعی سیستم یکسان می‌باشد و نیروی خارجی نیز، نیرویی هارمونیک است.  A، دامنه‌ی نوسان اولیه‌ی سیستم، مقداری ثابت است. با این فرض پاسخ عمومی معادله‌ی بالا به صورت زیر بدست می‌آید:

$\lambda _{1}=({-c+{\sqrt {c^{2}-4km}}})/2m$

$\lambda _{2}=({-c-{\sqrt {c^{2}-4km}}})/2m$

می دانیم:

$\xi =c/(2{\sqrt {km}})$

$\omega _{n}={\sqrt {k/m}}$

بنابراین:

$c=2\xi m\omega _{n}$

باجایگذاری مقدارC در معادلات $\lambda _{1}$ , $\lambda _{2}$ خواهیم داشت:

$\lambda _{1}=-\xi \omega _{n}+i\omega _{n}{\sqrt {1-\xi ^{2}}}$

$\lambda _{2}=-\xi \omega _{n}-i\omega _{n}{\sqrt {1-\xi ^{2}}}$

بنابراین پاسخ عمومی معادله‌ی حرکت برابر است با :

$x(t)=A_{1}e^{\lambda _{1}t}+A_{2}e^{\lambda _{2}t}$

مشاهده می‌شود که پاسخ معادله‌ی ما به فرم فرمول اویلر در می‌آید.

پس می توان پاسخ معادله‌ی حرکت را به صورت زیر نوشت :

$x(t)=e^{-\xi \omega _{n}t}[A\cos(\omega _{d}t)+B\sin(\omega _{d}t)]$

در معادله‌ی بالا، $\omega _{d}$ فرکانس میرایی سیستم می باشد و به صورت زیر بدست می‌آید:

$\omega _{d}=\omega _{n}{\sqrt {1-\xi ^{2}}}$

همچنین ضرایب A و B با استفاده از با استفاده از شرایط اولیه ‌ی مکان، $x(0)$، و شرایط اولیه سرعت ${\dot {x}}(0)$ محاسبه‌می شوند.

همچنین از فرض $x(t)=Ae^{\lambda t}$  و محاسبه‌ی مقادیر ${\dot {x}}(t)$ و${\ddot {x}}(t)$  ، معادله‌ی حرکت به صورت زیر بدست می‌آید:

$x(t)=Ae^{\lambda t}$

${\dot {x}}(t)=\lambda A^{\lambda t}$

${\ddot {x}}(t)=\lambda ^{2}A^{\lambda t}$

$F(t)=M{\ddot {x}}(t)+C{\dot {x}}(t)+Kx(t)$

$F(t)=[K-M\omega _{n}^{2}+i\omega _{n}c]x(t)$

حال معادله‌ی میان نیروی وارد بر سیستم در واحد زمان و پاسخ سیستم را داریم. حال برای بدست آوردن تابع FRF کافیست نیروها و جا‍به‌جایی های متناظر را از دامنه‌ی زمانی، با استفاده از روش های مرسوم مانند تبدیل فوریه‌ی سریع، به دامنه‌ی فرکانسی تبدیل کنیم. بنابراین برای یک سیستم یک درجه آزادی، تابع پاسخ فرکانسی به صورت زیر بدست می آید.

$FRF(\omega )=H(\omega )=X/F={1 \over [K-M\omega _{n}^{2}+i\omega _{n}c]}$

رسم تابع پاسخ فرکانسی برای سیستم یک درجه آزادی

تابع پاسخ فرکانسی را با نماد $H(\omega )$ نمایش می دهند:

$H(\omega )=X/F={1 \over [K-M\omega _{n}^{2}+i\omega _{n}c]}$

همانطور که مشاهده می‌کنید، ترم های مربوط به بخش حقیقی و موهومی از یکدیگر جدا نیستند. بنابراین برای جداسازی آنها، می بایست تابع پاسخ فرکانسی را در مزدوج مخرجش ضرب کنیم.

$H(\omega )=X/F={1 \over [K-M\omega _{n}^{2}+i\omega _{n}c]}\times {[(K-M\omega _{n}^{2})-i\omega _{n}c] \over [(K-M\omega _{n}^{2})-i\omega _{n}c]}={[(K-M\omega _{n}^{2})-i\omega _{n}c] \over [(K-M\omega _{n}^{2})^{2}+(\omega _{n}c)^{2}]}$

بنابراین داریم :

$H(\omega )={[(K-M\omega _{n}^{2}) \over [(K-M\omega _{n}^{2})^{2}+(\omega _{n}c)^{2}]}-i{\omega _{n}c \over [(K-M\omega _{n}^{2})^{2}+(\omega _{n}c)^{2}]}$

در صورت رسم این تابع، با نموداری مانند نمودار زیر برخورد می کنیم.

• 
  شکل(5) تابع پاسخ فرکانسی سیستم یک درجه آزادی
• 
  شکل(6) سه ناحیه‌ی تابع پاسخ فرکانسی

نمودار شکل(5) را می توان به سه بخش تقسیم نمود:

1- ناحیه‌ی کنترل شده توسط سختی سیستم

2- ناحیه‌ی کنترل شده توسط میرایی سیستم

3- بناحیه‌ی کنترل شده توسط جرم سیستم

ناحیه‌ی کنترل شده توسط سختی سیستم

شکل(7) ناحیه‌ی کنترل شده توسط سختی سیستم

مشاهده‌ می‌شود که با افزایش سختی سیستم، شکل نمودار در سایر نواحی و فرکانس طبیعی، چندان تغییر نمی کنند، بلکه تنها نمودار به پایین انتقال یافته است و این انتقال، در ناحیه‌ی کنترل شده توسط سختی چشمگیر می‌باشد. بنابراین می توان نتیجه گرفت که در صورت ایجاد خرابی و یا ترک در سیستم، نمودار به سمت بالا حرکت کند.

یادآوری: در اثر خرابی، سختی سیستم کاهش می‌یابد.

شکل(8) ناحیه‌ی کنترل شده توسط میرایی سیستم

ناحیه‌ی کنترل شده توسط میرایی سیستم

همانگونه که مشاهده می‌کنید، با افزایش میرایی، دو ناحیه‌‌ی دیگر تقریبا ثابت باقی می‌مانند، فرکانس طبیعی ثابت باقی می‌ماند و تنها قله‌ی نمودار و  شیب آن است که کاهش می یابد. بنابراین به این ناحیه، ناحیه‌ی کنترل شده توسط میرایی می‌گویند

ناحیه‌ی کنترل شده توسط جرم سیستم

با افزایش جرم سیستم مشاهده می‌شود که تابع پاسخ فرکانسی به سمت چپ شیفت پیدا می کند. در صورتی که دو نمودار را به گونه‌ای رو هم قرار دهیم که فرکانس طبیعی شان یکسان شود، مشاهده می شود که تنها در قسمت سمت راست نمودار، تغییرات تابع پاسخ فرکانسی چشم گیر می‌باشد. بنابر این به این ناحیه، ناحیه‌ی کنترل شده توسط جرم می‌گویند.

• 
  تغییرات جرم.jpg شکل(9) ناحیه‌ی کنترل شده توسط جرم سیستم
• 
  مسس زون.jpg شکل(10) انطباق دو نمودار برای حالت تغییر جرم سیستم

فهرست منابع

• R. W. Clough, J. Penzien, ''Dynamics of Structures'', Mc-Graw Hill Inc. , New York, 1975.
• Anil K. Chopra, ''Dynamics of Structures - Theory and applications to Earthquake Engineering'', Pearson Education Asia Limited and Tsinghua University Press, Beijing, 2001
• https://community.sw.siemens.com/s/article/what-is-a-frequency-response-function-frf
• https://community.sw.siemens.com/s/