معادله دیفرانسیل

یکی از انواع معادلات ریاضی که شامل مشتقات یک تابع مجهول باشد

معادله دیفرانسیل یکی از معادله‌های ریاضیات است و بیانگر یک تابع مجهول از یک یا چند متغیر مستقل و مشتق‌های مرتبه‌های مختلف آن نسبت به متغیرهای مستقل است. بسیاری از قوانین عمومی طبیعت (در فیزیک، شیمی، زیست‌شناسی و ستاره‌شناسی) طبیعی‌ترین بیان ریاضی خود را در زبان معادلات دیفرانسیل می‌یابند. کاربردهای معادلات دیفرانسیل همچنین در ریاضیات، به ویژه در هندسه و نیز در مهندسی و بسیاری از حوزه‌های دیگر کاربردی و فنی فراوان هستند.

معادلات دیفرانسیل در بسیاری پدیده‌های علوم رخ می دهند. هر زمان که یک رابطه بین چند متغیر با مقادیر مختلف در حالت‌ها یا زمان‌های مختلف وجود دارد و نرخ تغییرات متغیرها در زمان‌های مختلف یا حالات مختلف شناخته شده‌است می‌توان آن پدیده را با معادلات دیفرانسیل بیان کرد.

به عنوان مثال در مکانیک، حرکت جسم بوسیله سرعت و مکان آن در زمان‌های مختلف توصیف می‌شود و معادلات نیوتن به ما رابطه بین مکان و سرعت و شتاب و نیروهای گوناگون وارده بر جسم را میدهد. در چنین شرایطی می توانیم حرکت جسم را در قالب یک معادله دیفرانسیل که در آن مکان ناشناخته جسم تابعی از زمان است بیان کنیم.

شاخه‌بندیویرایش

روش‌های حل معادلات دیفرانسیل بسیار مرتبط با نوع معادله هستند. معادلات دیفرانسیل را به‌طور کلی به دو دسته می‌توان تقسیم کرد.

معادلات دیفرانسیل معمولی: در این نوع معادلات تابع پاسخ دارای تنها یک متغیر مستقل است.

معادلات دیفرانسیل با مشتقات پاره‌ای: در این نوع معادلات تابع پاسخ دارای چندین متغیر مستقل می‌باشد.

هر دو نوع این معادلات را می‌توان از دیدگاه خطی یا غیر خطی بودن تابع پاسخ هم دسته‌بندی کرد. همچنین مرتبه معادلات دیفرانسیل معمولی و مشتقات پاره ای را می‌توان به صورت کسری در نظر گرفت که به معادلات دیفرانسیل کسری مشهورند. این نوع از معادلات دیفرانسیل نیز روش‌های حل گوناگونی دارند که می‌توان به روش تجزیه آدومیان، هوموتوپی و تکرار تغییرات اشاره نمود.

 
مجسم‌سازی جریان هوا به داخل لوله که با معادلات ناویه-استوکس، مدل‌سازی شده‌است، مجموعه‌ای از معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی

نوع عادی یا جزئیویرایش

معادله شامل متغیر مستقل x، تابع (y=f(x و مشتقات f را یک معادله دیفرانسیل عادی می‌نامند. معادله‌ای پدید آمده از یک تابع مجهول با بیش از یک متغیر مستقل همراه با مشتقات جزئی آن را معادله دیفرانسیل جزئی می‌نامند.

مرتبه: عبارت است از مرتبه مشتقی که بالاترین مرتبه را در معادله دارد.

درجه: پس از حذف مخرج کسرها و رادیکال‌های مربوط به متغیر وابسته و مشتقاتش، بالاترین توان مشتقی که بالاترین مرتبه را در معادله دارد، درجه معادله است.

معمولاً یک معادله دیفرانسیل مرتبه n پاسخی شامل n ثابت دلخواه دارد. این پاسخ را پاسخ عمومی می‌نامند.

ساختار معادلات دیفرانسیل، متفاوت است و هر ساختار، ویژگی‌های متفاوتی دارد:

  • معادلات مرتبه اول از درجه اول با متغیرهای جدایی‌پذیر؛
  • همگن؛
  • خطی برنولی با دیفرانسیل‌های کامل؛
  • معادلات مرتبه دوم؛
  • معادلات خطی با ضرایب ثابت
  1. همگن
  2. ناهمگن

روش‌های تقریب‌زدنویرایش

  1. سری‌های توانی؛
  2. روش‌های عددی

صورت‌های معادلات دیفرانسیلویرایش

معادله دیفرانسیل مرتبه اول از درجه اول را همواره می‌توان به صورت زیر در آورد که در آن M و N معرف توابعی از x و y هستند.

Mdx + Ndy = 0

در معادله بالا هرگاه M فقط تابعی از x و N فقط تابعی از y باشد. به صورت معادله جدایی پذیر مرتبه اول است. در این صورت با انتگرال‌گیری از هر جمله پاسخ بدست می‌آید. یعنی:

M(x) dx+ ∫N(y) dy = C∫

معادله دیفرانسیل همگنویرایش

گاه معادله دیفرانسیلی را که متغیرهایش جدایی پذیر نیستند با تعویض متغیر می‌توان به معادله‌ای تبدیل کرد که متغیرهایش جدایی پذیر باشند، چنین معادله‌ای را همگن می‌نامند. معادله دیفرانسیل خطی مرتبه اول را همیشه می‌توان به صورت متعارف زیر در آورد که در آن P و Q توابعی از x هستند.

dy/dx + py = Q

معادله را که بتوان آن را به صورت

M (x,y) dx + N (x,y) dy = 0

نوشت و دارای ویژگی زیر باشد کامل نامیده می‌شود. زیرا طرف چپ آن یک دیفرانسیل کامل است.

M/∂y = ∂N/∂x∂

معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم

یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم در حالت کلی به صورت زیر است:

F (x,y،dy/dx,d2y/dx2) = 0

این گونه معادلات را معمولاً با یک متغیر مناسب مانند dy/dx = p به معادلات دیفرانسیل نوع اول تبدیل کرد و با جاگذاری در معادله مربوط به روش معادلات دیفرانسیل مرتبه اول حل کرد

معادله دیفرانسیل خطیویرایش

معادله دیفرانسیل را که در آن توابع ؟؟؟؟؟؟؟؟؟ و بر بازه I پیوسته بوده و (an(x هرگز صفر نباشد یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه nام می‌نامند که البته اگر در تعریف بالا (F(x مساوی صفر باشد معادله دیفرانسیل D برای مشتق توابع معرفی می‌شود. سپس با نوشتن معادله کمکی p(r)=0 و پیدا کردن صفرهای معادله (p(r پاسخ معادله همگن را پیدا می‌کنیم. در صورت ناهمگن بودن، علاوه بر عملیات بالا، پاسخ‌های معادله ناهمگن را با شیوه‌های خاصی پیدا کرده و به پاسخ بالا می‌افزایند.

حل معادلات دیفرانسیلی خطی مرتبه nام توسط سری‌های توانی معادله دیفرانسیل را در نظر می‌گیریم که در آن x۰ نقطه منفرد معادلات در این صورت با تغییر متغیر زیر به حل معادله می‌پردازیم:

همینطور با جاگذاری سری مربوط به (y=f(x و تجریه مناسب و مساوی قرار دادن دو طرف عبارت به حل معادله می‌پردازیم. کاربردها کاربردهای معادلات دیفرانسیل توصیف‌کننده حرکت سیارات، که از قانون دوم نیوتن بدست می‌آیند، هم شامل شتاب و هم شامل سرعت می‌شوند. در مورد حرکت موشک‌ها در نزدیکی سطح زمین و در فضا، معادلات دیفرانسیل پیچیده‌تر هستند. مسائل فیزیکی زیادی پس از فرمول‌بندی آنها به زبان ریاضی به معادلات دیفرانسیل منجر می‌شوند. در رشته سینتیک شیمیایی، معادلات دیفرانسیل نقش منحصر به فردی به عهده دارند همین‌طور در مواردی چون سود مرکب، واپاشی رادیواکتیو - قانون سرمایش نیوتن و رشد جمعیت کاربرد فراوانی دارد.

روش‌های حل معادلاتویرایش

به‌طور کل معادلات دیفرانسیل به سه روش تحلیلی، نیمه تحلیلی و عددی حل می‌شوند. برخی از معادلات دارای پاسخ دقیق و فرم تابعی هستند اینگونه معادلات را می‌توان از روش‌های تحلیلی حل نمود و به پاسخ دقیق رسید. معادلات دیگر که دارای فرم تابع مشخص نیستند را بایستی توسط روش‌های نیمه تحلیلی یا عددی حل کرد. از روش‌های نیمه‌تحلیلی می‌توان به روش تجزیه آدومیان، آنالیز هموتوپی، تبدیل دیفرانسیل و… اشاره کرد. روش‌های عددی دامنه وسیع تری را برای حل معادلات به کار می‌گیرد. از روش‌های عددی می‌توان به روش اویلر، روش هون، روش تیلور، روش رانگ-کوتا، آدامز-بشفورث-مولتون، روش میلن سیمپسون، روش هامینگ، روش رانگ-کوتا فلبرگ مرتبه ۵، روش رحمانزاده کای وایت، روش‌های طیفی و شبه طیفی، روش‌های شبکه‌ای همانند اجزای محدود و تفاضل محدود و روش‌های بدون شبکه اشاره کرد.

معادلات دیفرانسیل مشهورویرایش

منابعویرایش

پیوند به بیرونویرایش