با داشتن k+1 نقطهی
(
x
0
,
y
0
)
,
…
,
(
x
k
,
y
k
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{k},y_{k})}
تفاضلات کسری پیشرو به این شکل تعریف میشوند:
[
y
ν
]
:=
y
ν
,
ν
∈
{
0
,
…
,
k
}
{\displaystyle [y_{\nu }]:=y_{\nu },\qquad \nu \in \{0,\ldots ,k\}}
[
y
ν
,
…
,
y
ν
+
j
]
:=
[
y
ν
+
1
,
…
,
y
ν
+
j
]
−
[
y
ν
,
…
,
y
ν
+
j
−
1
]
x
ν
+
j
−
x
ν
,
ν
∈
{
0
,
…
,
k
−
j
}
,
j
∈
{
1
,
…
,
k
}
.
{\displaystyle [y_{\nu },\ldots ,y_{\nu +j}]:={\frac {[y_{\nu +1},\ldots ,y_{\nu +j}]-[y_{\nu },\ldots ,y_{\nu +j-1}]}{x_{\nu +j}-x_{\nu }}},\qquad \nu \in \{0,\ldots ,k-j\},\ j\in \{1,\ldots ,k\}.}
و تفاضلات کسری پسرو به این شکل تعریف میشوند:
[
y
ν
]
:=
y
ν
,
ν
∈
{
0
,
…
,
k
}
{\displaystyle [y_{\nu }]:=y_{\nu },\qquad \nu \in \{0,\ldots ,k\}}
[
y
ν
,
…
,
y
ν
−
j
]
:=
[
y
ν
,
…
,
y
ν
−
j
+
1
]
−
[
y
ν
−
1
,
…
,
y
ν
−
j
]
x
ν
−
x
ν
−
j
,
ν
∈
{
j
,
…
,
k
}
,
j
∈
{
1
,
…
,
k
}
.
{\displaystyle [y_{\nu },\ldots ,y_{\nu -j}]:={\frac {[y_{\nu },\ldots ,y_{\nu -j+1}]-[y_{\nu -1},\ldots ,y_{\nu -j}]}{x_{\nu }-x_{\nu -j}}},\qquad \nu \in \{j,\ldots ,k\},\ j\in \{1,\ldots ,k\}.}
اگر نقاط داده، در قالب یک تابع ƒ داده شده باشند،
(
x
0
,
f
(
x
0
)
)
,
…
,
(
x
k
,
f
(
x
k
)
)
{\displaystyle (x_{0},f(x_{0})),\ldots ,(x_{k},f(x_{k}))}
در این صورت مینویسیم:
f
[
x
ν
]
:=
f
(
x
ν
)
,
ν
∈
{
0
,
…
,
k
}
{\displaystyle f[x_{\nu }]:=f(x_{\nu }),\qquad \nu \in \{0,\ldots ,k\}}
f
[
x
ν
,
…
,
x
ν
+
j
]
:=
f
[
x
ν
+
1
,
…
,
x
ν
+
j
]
−
f
[
x
ν
,
…
,
x
ν
+
j
−
1
]
x
ν
+
j
−
x
ν
,
ν
∈
{
0
,
…
,
k
−
j
}
,
j
∈
{
1
,
…
,
k
}
.
{\displaystyle f[x_{\nu },\ldots ,x_{\nu +j}]:={\frac {f[x_{\nu +1},\ldots ,x_{\nu +j}]-f[x_{\nu },\ldots ,x_{\nu +j-1}]}{x_{\nu +j}-x_{\nu }}},\qquad \nu \in \{0,\ldots ,k-j\},\ j\in \{1,\ldots ,k\}.}
نمادگذاریهای متفاوتی برای تفاضلات کسری تابع ƒ روی نقاط x 0 , ..., xn استفاده میشود:
[
x
0
,
…
,
x
n
]
f
,
{\displaystyle [x_{0},\ldots ,x_{n}]f,}
[
x
0
,
…
,
x
n
;
f
]
,
{\displaystyle [x_{0},\ldots ,x_{n};f],}
D
[
x
0
,
…
,
x
n
]
f
{\displaystyle D[x_{0},\ldots ,x_{n}]f}
و غیره.
تفاضلات کسری برای
ν
=
0
{\displaystyle \nu =0}
و چند مقدار اول
j
{\displaystyle j}
:
[
y
0
]
=
y
0
[
y
0
,
y
1
]
=
y
1
−
y
0
x
1
−
x
0
[
y
0
,
y
1
,
y
2
]
=
[
y
1
,
y
2
]
−
[
y
0
,
y
1
]
x
2
−
x
0
=
y
2
−
y
1
x
2
−
x
1
−
y
1
−
y
0
x
1
−
x
0
x
2
−
x
0
=
y
2
−
y
1
(
x
2
−
x
1
)
(
x
2
−
x
0
)
−
y
1
−
y
0
(
x
1
−
x
0
)
(
x
2
−
x
0
)
[
y
0
,
y
1
,
y
2
,
y
3
]
=
[
y
1
,
y
2
,
y
3
]
−
[
y
0
,
y
1
,
y
2
]
x
3
−
x
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathopen {[}}y_{0}]&=y_{0}\\{\mathopen {[}}y_{0},y_{1}]&={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\\{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},y_{2}]&={\frac {{\mathopen {[}}y_{1},y_{2}]-{\mathopen {[}}y_{0},y_{1}]}{x_{2}-x_{0}}}={\frac {{\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}-{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}}{x_{2}-x_{0}}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{(x_{2}-x_{1})(x_{2}-x_{0})}}-{\frac {y_{1}-y_{0}}{(x_{1}-x_{0})(x_{2}-x_{0})}}\\{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},y_{2},y_{3}]&={\frac {{\mathopen {[}}y_{1},y_{2},y_{3}]-{\mathopen {[}}y_{0},y_{1},y_{2}]}{x_{3}-x_{0}}}\end{aligned}}}
برای روشنتر شدن روند بازگشتی، تفاضلات کسری را میتوان بهصورت یک جدول نوشت:
x
0
y
0
=
[
y
0
]
[
y
0
,
y
1
]
x
1
y
1
=
[
y
1
]
[
y
0
,
y
1
,
y
2
]
[
y
1
,
y
2
]
[
y
0
,
y
1
,
y
2
,
y
3
]
x
2
y
2
=
[
y
2
]
[
y
1
,
y
2
,
y
3
]
[
y
2
,
y
3
]
x
3
y
3
=
[
y
3
]
{\displaystyle {\begin{matrix}x_{0}&y_{0}=[y_{0}]&&&\\&&[y_{0},y_{1}]&&\\x_{1}&y_{1}=[y_{1}]&&[y_{0},y_{1},y_{2}]&\\&&[y_{1},y_{2}]&&[y_{0},y_{1},y_{2},y_{3}]\\x_{2}&y_{2}=[y_{2}]&&[y_{1},y_{2},y_{3}]&\\&&[y_{2},y_{3}]&&\\x_{3}&y_{3}=[y_{3}]&&&\\\end{matrix}}}
(
f
+
g
)
[
x
0
,
…
,
x
n
]
=
f
[
x
0
,
…
,
x
n
]
+
g
[
x
0
,
…
,
x
n
]
{\displaystyle (f+g)[x_{0},\dots ,x_{n}]=f[x_{0},\dots ,x_{n}]+g[x_{0},\dots ,x_{n}]}
(
λ
⋅
f
)
[
x
0
,
…
,
x
n
]
=
λ
⋅
f
[
x
0
,
…
,
x
n
]
{\displaystyle (\lambda \cdot f)[x_{0},\dots ,x_{n}]=\lambda \cdot f[x_{0},\dots ,x_{n}]}
(
f
⋅
g
)
[
x
0
,
…
,
x
n
]
=
f
[
x
0
]
⋅
g
[
x
0
,
…
,
x
n
]
+
f
[
x
0
,
x
1
]
⋅
g
[
x
1
,
…
,
x
n
]
+
⋯
+
f
[
x
0
,
…
,
x
n
]
⋅
g
[
x
n
]
{\displaystyle (f\cdot g)[x_{0},\dots ,x_{n}]=f[x_{0}]\cdot g[x_{0},\dots ,x_{n}]+f[x_{0},x_{1}]\cdot g[x_{1},\dots ,x_{n}]+\dots +f[x_{0},\dots ,x_{n}]\cdot g[x_{n}]}
تفاضلات کسری متقارن هستند: اگر
σ
:
{
0
,
…
,
n
}
→
{
0
,
…
,
n
}
{\displaystyle \sigma :\{0,\dots ,n\}\to \{0,\dots ,n\}}
یک جایگشت باشد، داریم:
f
[
x
0
,
…
,
x
n
]
=
f
[
x
σ
(
0
)
,
…
,
x
σ
(
n
)
]
{\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]=f[x_{\sigma (0)},\dots ,x_{\sigma (n)}]}
از قضیهی مقدار میانگین برای تفاضلات کسری نتیجه میشود:
f
[
x
0
,
…
,
x
n
]
=
f
(
n
)
(
ξ
)
n
!
{\displaystyle f[x_{0},\dots ,x_{n}]={\frac {f^{(n)}(\xi )}{n!}}}
بهطوری که
ξ
{\displaystyle \xi }
در بازهای باز قرار دارد که توسط کوچکترین و بزرگترین
x
k
{\displaystyle x_{k}}
ها تعیین میشود.
تفاضلات کسری را میتوان در قالب یک ماتریس بالامثلثی قرار داد. اگر داشته باشیم:
T
f
(
x
0
,
…
,
x
n
)
=
(
f
[
x
0
]
f
[
x
0
,
x
1
]
f
[
x
0
,
x
1
,
x
2
]
…
f
[
x
0
,
…
,
x
n
]
0
f
[
x
1
]
f
[
x
1
,
x
2
]
…
f
[
x
1
,
…
,
x
n
]
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
0
0
0
…
f
[
x
n
]
)
{\displaystyle T_{f}(x_{0},\dots ,x_{n})={\begin{pmatrix}f[x_{0}]&f[x_{0},x_{1}]&f[x_{0},x_{1},x_{2}]&\ldots &f[x_{0},\dots ,x_{n}]\\0&f[x_{1}]&f[x_{1},x_{2}]&\ldots &f[x_{1},\dots ,x_{n}]\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &f[x_{n}]\end{pmatrix}}}
.
آنگاه:
T
f
+
g
x
=
T
f
x
+
T
g
x
{\displaystyle T_{f+g}x=T_{f}x+T_{g}x}
T
f
⋅
g
x
=
T
f
x
⋅
T
g
x
{\displaystyle T_{f\cdot g}x=T_{f}x\cdot T_{g}x}
که از قانون لایب نیتز نتیجه میشود. این بدان معناست که ضرب چنین ماتریسی خاصیت جابهجایی دارد. بهطور خلاصه، ماتریسهای تفاضلات کسری با توجه به همان مجموعه نقاط، یک حلقهی جابهجایی را تشکیل میدهند.
جستارهای وابسته
ویرایش