خاصیت جابه‌جایی

خاصیت جابه‌جایی (به انگلیسی: Commutative) در علم ریاضیات، یک خاصیت برای یک عمل دوتایی است، که تغییر ترتیب عملوندها بر روی نتیجه تأثیر نداشته باشد. خاصیت جابجایی، خاصیتی بنیادین برای بسیاری از عمل‌های دوتایی می باشد و بسیاری از اثبات های ریاضیاتی به آن بستگی دارد. این همان خاصیت آشنای "۳+۴=۴+۳" یا "۲×۵=۵×۲" است. ازین خاصیت می توان در حالات پیشرفته تر نیز استفاده کرد. برخی از عمل‌های دوتایی چون تقسیم و تفاضل خاصیت جابجایی ندارند (مثلاً "۳-۵≠۵-۳")؛ چنین عمل‌هایی جابجایی نیستند، لذا به آن ها عمل‌های ناجابجایی می گویند. این ایده که عملیات ساده ای چون ضرب و جمع اعداد جابجایی هستند، سال ها به صورت ضمنی و پنهان فرض می شد. لذا، این خاصیت تا قرن ۱۹ میلادی به صورت آشکار مطرح نشد، در این زمان بود که ریاضیات شروع به صوری سازی این مفهوم کرد.[۱][۲] برای روابط دوتایی هم خاصیتی مشابه به نام خاصیت تقارنی وجود دارد، روابطی که این خاصیت را دارند، ترتیب عملوندها برایشان اهمیتی ندارد. مثالی از روابط دوتایی متقارن، رابطه تساوی است که معمولاً آن را با = نشان می دهند. علت متقارن بودن این رابطه این است که در برابری دو شیء، ترتیب قرارگیریشان در دو سمت نماد تساوی اهمیتی ندارد.[۳]

عمل دوتایی چون جابجایی است اگر و تنها اگر برای هر نتیجه شود . این شکل، این خاصیت را به تصویر می کشد. در این تصویر مفهوم عمل به صورت "ماشین محاسبه گر" نشان داده شده. برای خروجی و مهم نیست که ترتیب ورودی های و چه باشند، در نهایت خروجی ها با هم برابر خواهند بود.

تعریف‌های ریاضی

عبارت «جابه‌جایی‌پذیر» در چند مورد مشابه کاربرد دارد.[۴][۵]

۱. یک عمل دوتایی تحت عمل‌گر ∗ در مجموعهٔ S جابه‌جایی‌پذیر است اگر:

 
- موردی که در ویژگی بالا صدق نکند، ناجابه‌جایی گفته می‌شود.

۲. کاربرد دیگر می‌گوید که x جابه‌جا می‌شود با y تحت ∗ اگر:

 

۳. یک تابع دو متغیره مانند f:A×AB دارای خاصیت جابه‌جایی است، اگر:

 

جستارهای وابسته

پانویس

  1. Cabillón and Miller, Commutative and Distributive
  2. Flood, Raymond; Rice, Adrian; Wilson, Robin, eds. (2011). Mathematics in Victorian Britain. Oxford University Press. p. 4. ISBN 9780191627941.
  3. D. F. Gregory (1840). "On the real nature of symbolical algebra". Transactions of the Royal Society of Edinburgh. 14: 208–216.
  4. Krowne, p.1
  5. Weisstein, Commute, p.1

منابع

کتاب‌ها

نظریه جبر مجرد. جابجایی را در این بستر پوشش می دهد. از این خاصیت در سراسر کتاب استفاده می کند.
نظریه جبر خطی. خاصیت جابجایی را در فصل 1 توضیح می دهد و سپس در سرتاسر کتاب مورد استفاده قرار می دهد.
  • Goodman, Frederick (2003). Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry, 2e. Prentice Hall. ISBN 0-13-067342-0.
نظریه جبر مجرد. از خاصیت جابجایی در سرتاسر کتاب استفاده می کند.
  • Hurley, Patrick (1991). A Concise Introduction to Logic 4th edition. Wadsworth Publishing.

مقالات

مقاله ای در توصیف توانایی تمدن های باستانی در ریاضیات.
ترجمه و تفسیر پاپیروس ریاضیاتی ریند.

منابع برخط

تعریف خاصیت جابجایی و مثال هایی از عملگرهای جابجایی
توضیح عبارت جابجایی
مثالهایی که برخی خواص ناجابجایی را اثبات می کنند
مقاله ای در مورد تاریخ اعداد حقیقی
صفحه ای که اولین استفاده از عبارات ریاضی را شرح می دهد
زندگی نامه فرنچویس که اولین بار این عبارت را به کار برد.