حلقه کوهن-مکالی

در ریاضیات، یک حلقه کوهن-مکالی (به انگلیسی: Cohen-Macaulay Ring)، حلقه ای جابجاییست که برخی از خواص جبری-هندسی واریته های هموار همچون هم-بعدی را دارا می باشد. تحت مفروضاتی ملایم، یک حلقه موضعی دقیقاً زمانی کوهن-مکالی است که مدول آزاد متناهیاً تولید شده ای بر روی زیرحلقه موضعی منظم باشد. حلقه های کوهن-مکالی نقشی مرکزی در جبر جابجایی بازی می کند: آن ها تشکیل دسته بسیار وسیعی داده و با این وجود می توان آن ها از راه های گوناگونی به خوبی شناخت.

این حلقه ها را براساس نام فرنسیس سوربی مکالی (۱۹۱۶)، که قضیه عدم اختلاط را برای حلقه های چند جمله ای اثبات کرد، و ایروین کوهن (۱۹۴۶)، که قضیه عدم اختلاط را برای حلقه های سری توانی صوری اثبات نمود، به حلقه های کوهن-مکالی نامگذاری کردند. تمام حلقه های کوهن-مکالی دارای خاصیت عدم اختلاط اند.

برای حلقه های موضعی نوتری، زنجیره شمولی به صورت زیر موجود است:

حلقه‌های کتناری ⊃ حلقه‌های کوهن-مکالی ⊃ حلقه‌های گورنشتاین ⊃ حلقه‌ها اشتراک کامل ⊃ حلقه‌های موضعی منظم

تعریف

برای یک حلقه موضعی نوتری جابجایی چون $R$، یک $R$-مدول متناهی (یعنی مدول متناهیاً تولید شده) چون $M\neq 0$ را مدول کوهن-مکالی نامند اگر $\mathrm {depth} (M)=\mathrm {dim} (M)$ (در حالت کلی داریم: $\mathrm {depth} (M)\leq \mathrm {dim} (M)$). از سوی دیگر، $R$ یک مدول روی خودش است، بنابر این ما $R$ را یک حلقه کوهن-مکالی نامیم اگر به عنوان یک $R$-مدول روی خودش، یک مدول کوهن-مکالی باشد. یک مدول کوهن-مکالی ماکسیمال، مدول کوهن-مکالی است به طوری که داشته باشیم $\mathrm {dim} (M)=\mathrm {dim} (R)$.

تعریف فوق برای یک حلقه موضعی نوتری بود. اما می خواهیم اکنون تعریف را برای حالت حلقه نوتری در حالتی کلی تر بسط دهیم: اگر $R$ یک حلقه نوتری جابجایی باشد، آنگاه یک $R$-مدول $M$ را مدول کوهن-مکالی نامند اگر $M_{\mathrm {m} }$ برای تمام ایده‌آل های ماکسیمال $\mathrm {m} \in \mathrm {Supp} (M)$ نیز مدول کوهن-مکالی باشد. (این تعریف موجب ایجاد یک دور منطقی می گردد (یعنی تعریفی که به بخشی از خودش وابسته است) مگر آن که ما مدول های صفر را به عنوان کوهن-مکالی تعریف کنیم. لذا این کار را کرده و مدول های صفر را کوهن-مکالی تعریف می کنیم) اکنون، برای تعریف مدول های کوهن-مکالی ماکسیمال برای این نوع از حلقه ها، $M_{\mathrm {m} }$ باید برای هر ایده‌آل ماکسیمال $\mathrm {m}$ از $R$ چنین $M_{\mathrm {m} }$-مدولی باشد. همچون حالت موضعی، $R$ یک حلقه کوهن-مکالی است اگر به عنوان $R$-مدول، روی خودش، یک مدول کوهن-مکالی باشد.

مثال‌ها

حلقه های نوتری زیر کوهن-مکالی هستند:

• هر حلقه منظم موضعی. این دسته منجر به مثال های متعددی از حلقه های کوهن-مکالی می گردد، چون حلقه اعداد صحیح، یا حلقه چند جمله ای $K[x_{1},...,x_{n}]$ روی یک میدان چون $K$ یا یک حلقه سری توانی صوری چون $K[[x_{1},...,x_{n}]]$. به زبان هندسی، هر اسکیم منظم چون واریته هموار روی یک میدان کوهن-مکالی است.
• هر حلقه 0-بعدی (یا به طور معادل، هر حلقه آرتینی).
• هر حلقه کاهش یافته 1-بعدی، به عنوان مثال هر حوزه صحیح 1-بعدی.
• هر حلقه نرمال 2-بعدی.
• هر حلقه گورنشتاین. به‌خصوص، هر حلقه اشتراک کامل.
• حلقه ناورداهای $R^{G}$، هنگامی که $R$ جبر کوهن-مکالی روی میدانی با مشخصه صفر و $G$ هم یک گروه متناهی باشد (یا به طور کلی تر، یک گروه جبری خطی که مؤلفه همانی آن کاهشی باشد). این قضیه به قضیه ی هاکستر-رابرتس معروف است.
• هر حلقه دترمینانی. یعنی، فرض کنید $R$ خارج قسمتی از حلقه موضعی منظم $S$ بر روی ایده‌آل تولید شده توسط کهادهای $r\times r$ از یک ماتریس $p\times q$ از عناصر $S$ باشد. اگر هم-بعد (یا ارتفاع) ایده‌آل $I$ طبق انتظار برابر هم-بعد $(p-r+1)(q-r+1)$ باشد، $R$ را حلقه دترمینانی نامند. در این صورت، $R$ حلقه کوهن-مکالی است. به طور مشابه، حلقه های مختصاتی واریته های دترمینانی نیز کوهن-مکالی اند.

منابع

• Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1993), Cohen–Macaulay Rings, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 39, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-41068-7, MR 1251956
• Cohen, I. S. (1946), "On the structure and ideal theory of complete local rings", Transactions of the American Mathematical Society, 59: 54–106, doi:10.2307/1990313, ISSN 0002-9947, JSTOR 1990313, MR 0016094 Cohen's paper was written when "local ring" meant what is now called a "Noetherian local ring".
• V.I. Danilov (2001) [1994], "Cohen–Macaulay ring", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Eisenbud, David (1995), Commutative Algebra with a View toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 150, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-5350-1, ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
• Fulton, William (1993), Introduction to Toric Varieties, Princeton University Press, doi:10.1515/9781400882526, ISBN 978-0-691-00049-7, MR 1234037
• William Fulton. (1998), Intersection theory, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., vol. 2 (2nd ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-62046-4, MR 1644323
• Kollár, János; Mori, Shigefumi (1998), Birational Geometry of Algebraic Varieties, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511662560, ISBN 0-521-63277-3, MR 1658959
• Kollár, János (2013), Singularities of the Minimal Model Program, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9781139547895, ISBN 978-1-107-03534-8, MR 3057950
• Macaulay, F.S. (1994) [1916], The Algebraic Theory of Modular Systems, Cambridge University Press, ISBN 1-4297-0441-1, MR 1281612
• Matsumura, Hideyuki (1989), Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-36764-6, MR 0879273
• Schwede, Karl; Tucker, Kevin (2012), "A survey of test ideals", Progress in Commutative Algebra 2, Berlin: Walter de Gruyter, pp. 39–99, arXiv:1104.2000, Bibcode:2011arXiv1104.2000S, MR 2932591

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Cohen-Macaulay Ring». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.