دیراک کام

دیراک کام (به انگلیسی: Dirac Comb) یک توزیع شوارتز متناوب است که در در ریاضیات و مهندسی برق کاربرد دارد. این تابع با نام تابع نمونه‌برداری (به انگلیسی: Sampling function) یا قطار ضربه (به انگلیسی: Impulse train) نیز شناخته می‌شود. دیراک کام از تابع‌های دلتای دیراک ساخته می‌شود. در دورهٔ تناوب $T$ خواهیم داشت:

یک دیراک کام یک سری نامتناهی از تابع‌های دلتای دیراک است که با دورهٔ تناوب T پخش شده‌اند

$\mathrm {III} _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)={\frac {1}{T}}\mathrm {III} (t/T)$

علامت $\mathrm {III} (t)$ (که دورهٔ تناوب از آن حذف شده) نشان‌دهندهٔ دیراک کام با دورهٔ تناوب واحد است. تعدادی از نویسندگان به‌ویژه رونالد ان بریسول این تابع را با عنوان تابع شاه (به انگلیسی: Shah function) نیز می‌شناسند (احتمالاً به این دلیل که نمودار این تابع مانند حرف شا Ш در الفبای سیریلیک است). از آنجایی که دیراک کام یک تابع متناوب است، می‌توان آن‌را به صورت سری فوریه نیز بازنویسی کرد:

$\mathrm {III} _{T}(t)={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{i2\pi kt/T}$

به کمک دیراک کام می‌توان هم پدیده‌های پیوسته و هم پدیده‌های گسسته را در چارچوب آنالیز فوریه در توزیع شوارتز بدون استفادهٔ مستقیم از سری فوریه نمایش داد.

مقیاس‌پذیری

ویژگی مقیاس‌پدیری دیراک کام از همین ویژگی در تابع دلتای دیراک پیروی می‌کند. از آنجایی که داریم $\delta (t/a)=|a|\delta (t)\,$، می‌توان نوشت:

$\mathrm {III} _{T}(t/a)=|a|\,\mathrm {III} _{aT}(t)$

جستارهای وابسته

• آنالیز فوریه
• تابع دلتای دیراک

منابع

• Bracewell, R.N (1986), The Fourier Transform and Its Applications, revised (به انگلیسی), McGraw-Hill
• Córdoba، A (۱۹۸۹)، «Dirac combs»، Letters in Mathematical Physics، ج. ۱۷ ش. ۳، صص. ۱۹۱–۱۹۶، doi:10.1007/BF00401584، بیبکد:1989LMaPh..17..191C