فرم ماک ماژولار

در ریاضیات، فرم ماک ماژولار (به انگلیسی: Mock Modular Form)، بخش هولومورفیک از یک فرم ماس (Maass Form) ضعیف هارمونیک بوده و یک تابع تتای ماک اساساً فرم ماژولار ماکی با وزن 1/2 است. اولین مثال‌ها از توابع تتای ماک توسط سرینیواسا رامانوجان در آخرین نامه‌اش در سال ۱۹۲۰ به گ.هـ. هاردی و در دفترچهٔ گم‌شده‌اش توصیف شده‌است. سندر زووگرز (Sander Zwegers) کشف نمود که افزودن برخی از توابع غیر-هولومورفیک بهشان، آن‌ها را تبدیل به فرم‌های ماس ضعیف می‌کند.^[۱]^[۲]

تاریخچه ویرایش

«فرض کنید تابعی به فرم اویلری وجود داشته و فرض کنید که تمام نقاط یا بی‌نهایت از آن‌ها، نقاط تکین نمایی باشند، و همچنین فرض کنید که در این نقاط، فرم مجانبی با همان ترتیب و سادگی موارد (A) و (B) نزدیک شود. حال سؤال این است که: آیا این تابع به صورت جمع دو تابعی است که یکی از آن‌ها تابع $\theta$ و دیگری تابع (بدیهی) $O(1)$ در تمام نقاط $e^{2m\pi i/n}$ می‌باشد؟ … وقتی چنین نباشد، من به این تابع، تابع $\theta$ ی ماک می‌گویم.»

تعریف اصلی رامانوجان از تابع تتای ماک^[۳]

نامه ۱۲ ژانویه ۱۹۲۰ میلادی رامانوجان به هاردی،^[۳] ١٧ مثال از توابعی را که او به نام توابع تتای ماک می‌نامید، فهرست کرده، و دفترچه گم‌شده اش^[۴] شامل چندین مثال دیگر نیز می‌باشد (منظور رامانوجان از اصطلاح «تابع تتا»، چیزیست که امروزه به یک فرم ماژولار معروف است). رامانوجان اشاره کرد که این توابع دارای بسط مجانبی در کاسپ‌ها بوده، که با فرم‌های ماژولاری با وزن ^[۵] شباهت داشته، به طوری که احتمالاً دارای قطب‌هایی در کاسپ‌ها بوده اما نمی‌توان آن‌ها را برحسب توابع تتای «معمولی» نوشت. او توابعی با خواص مشابه را «توابع تتای ماک» نامید. زووگرز (Zwegers)، بعدها ارتباط تابع تتای ماک با فرم‌های ماس ضعیف کشف نمود.

رامانوجان به توابع تتای ماکش، مرتبه (order) نسبت داد، که تعریف واضح و مشخصی نداشت. قبل از کار زووگرز، مراتب توابع تتای ماک شناخته شده شامل این موارد بودند:

$3,5,6,7,8,10.$

مفهوم رامانوجان از مرتبه، بعدها تبدیل به کونداکتورِ کاراکتر نبنتیپوس (Nebentypus character) با فرم‌های ماس هارمونیک از وزن ^[۵] شد که توابع تتای ماک رامانوجان را به عنوان تصویرهای هولومورفیک می‌پذیرند.

ارجاعات ویرایش

↑ Zwegers 2001.
↑ Zwegers 2002.
↑ ^۳٫۰ ^۳٫۱ Ramanujan 2000, Appendix II.
↑ Ramanujan 1988.
↑ ^۵٫۰ ^۵٫۱ 1 & 2.

منابع ویرایش

Andrews, George E. (1966), "On the theorems of Watson and Dragonette for Ramanujan's mock theta functions", American Journal of Mathematics, 88 (2): 454–490, doi:10.2307/2373202, ISSN 0002-9327, JSTOR 2373202, MR 0200258
Andrews, George E. (1986), "The fifth and seventh order mock theta functions", Transactions of the American Mathematical Society, 293 (1): 113–134, doi:10.2307/2000275, ISSN 0002-9947, JSTOR 2000275, MR 0814916
Andrews, George E. (1988), "Ramanujan's fifth order mock theta functions as constant terms", Ramanujan revisited (Urbana-Champaign, Ill. , 1987), Boston, MA: Academic Press, pp. 47–56, MR 0938959
Andrews, George E. (1989), "Mock theta functions", Theta functions—Bowdoin 1987, Part 2 (Brunswick, ME, 1987), Proc. Sympos. Pure Math., vol. 49, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 283–298, MR 1013178
Andrews, George E.; Garvan, F. G. (1989), "Ramanujan's lost notebook. VI. The mock theta conjectures", Advances in Mathematics, 73 (2): 242–255, doi:10.1016/0001-8708(89)90070-4, ISSN 0001-8708, MR 0987276
Andrews, George E.; Hickerson, Dean (1991), "Ramanujan's lost notebook. VII. The sixth order mock theta functions", Advances in Mathematics, 89 (1): 60–105, doi:10.1016/0001-8708(91)90083-J, ISSN 0001-8708, MR 1123099
Appell, P. (1884), "Sur les fonctions doublement périodiques de troisième espèce", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 1: 135–164, doi:10.24033/asens.236
Berndt, Bruce C.; Chan, Song Heng (2007), "Sixth order mock theta functions", Advances in Mathematics, 216 (2): 771–786, doi:10.1016/j.aim.2007.06.004, ISSN 0001-8708, MR 2351377
Bringmann, Kathrin; Folsom, Amanda; Ono, Ken (2009). "q-series and weight 3/2 Maass forms" (PDF). Compositio Mathematica. 145 (3): 541–552. doi:10.1112/S0010437X09004072. S2CID 7688222.
Bringmann, Kathrin; Ono, Ken (2006), "The f(q) mock theta function conjecture and partition ranks" (PDF), Inventiones Mathematicae, 165 (2): 243–266, Bibcode:2006InMat.165..243B, doi:10.1007/s00222-005-0493-5, ISSN 0020-9910, MR 2231957, S2CID 120388256, archived from the original (PDF) on 2006-08-29
Bringmann, Kathrin; Ono, Ken (2007), "Lifting cusp forms to Maass forms with an application to partitions" (PDF), Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 104 (10): 3725–3731, Bibcode:2007PNAS..104.3725B, doi:10.1073/pnas.0611414104, ISSN 0027-8424, MR 2301875, PMC 1820651, PMID 17360420, archived from the original (PDF) on 2008-08-28
Bringmann, Kathrin; Ono, Ken (2010), "Dyson's ranks and Maass forms" (PDF), Annals of Mathematics, 171: 419, doi:10.4007/annals.2010.171.419, archived from the original (PDF) on 2006-08-29
Bruinier, Jan Hendrik; Funke, Jens (2004), "On two geometric theta lifts", Duke Mathematical Journal, 125 (1): 45–90, arXiv:math/0212286, doi:10.1215/S0012-7094-04-12513-8, ISSN 0012-7094, MR 2097357, S2CID 2078210
Choi, Youn-Seo (1999), "Tenth order mock theta functions in Ramanujan's lost notebook", Inventiones Mathematicae, 136 (3): 497–569, Bibcode:1999InMat.136..497C, doi:10.1007/s002220050318, ISSN 0020-9910, MR 1695205, S2CID 125193659
Choi, Youn-Seo (2000), "Tenth order mock theta functions in Ramanujan's lost notebook. II", Advances in Mathematics, 156 (2): 180–285, doi:10.1006/aima.2000.1948, ISSN 0001-8708, MR 1808245
Choi, Youn-Seo (2002), "Tenth order mock theta functions in Ramanujan's lost notebook. IV", Transactions of the American Mathematical Society, 354 (2): 705–733, doi:10.1090/S0002-9947-01-02861-6, ISSN 0002-9947, JSTOR 2693766, MR 1862564
Choi, Youn-Seo (2007), "Tenth order mock theta functions in Ramanujan's lost notebook. III", Proceedings of the London Mathematical Society, 94 (1): 26–52, doi:10.1112/plms/pdl006, ISSN 0024-6115, MR 2293464
Dabholkar, Atish; Murthy, Sameer; Zagier, Don (2012). "Quantum Black Holes, Wall Crossing, and Mock Modular Forms". arXiv:1208.4074 [hep-th].
Dragonette, Leila A. (1952), "Some asymptotic formulae for the mock theta series of Ramanujan", Transactions of the American Mathematical Society, 72 (3): 474–500, doi:10.2307/1990714, ISSN 0002-9947, JSTOR 1990714, MR 0049927
Fine, Nathan J. (1988), Basic hypergeometric series and applications, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 27, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1524-3, MR 0956465
Garthwaite, Sharon Anne (2008), "The coefficients of the ω(q) mock theta function", International Journal of Number Theory, 4 (6): 1027–1042, doi:10.1142/S1793042108001869, ISSN 1793-0421, MR 2483310
Gordon, Basil; McIntosh, Richard J. (2000), "Some eighth order mock theta functions", Journal of the London Mathematical Society, 62 (2): 321–335, doi:10.1112/S0024610700008735, ISSN 0024-6107, MR 1783627
Hickerson, Dean (1988a), "A proof of the mock theta conjectures", Inventiones Mathematicae, 94 (3): 639–660, Bibcode:1988InMat..94..639H, doi:10.1007/BF01394279, ISSN 0020-9910, MR 0969247, S2CID 122492320
Hickerson, Dean (1988b), "On the seventh order mock theta functions", Inventiones Mathematicae, 94 (3): 661–677, Bibcode:1988InMat..94..661H, doi:10.1007/BF01394280, ISSN 0020-9910, MR 0969247, S2CID 121384412
Hirzebruch, Friedrich; Zagier, Don (1976), "Intersection numbers of curves on Hilbert modular surfaces and modular forms of Nebentypus", Inventiones Mathematicae, 36: 57–113, Bibcode:1976InMat..36...57H, doi:10.1007/BF01390005, hdl:21.11116/0000-0004-399B-E, ISSN 0020-9910, MR 0453649, S2CID 56568473
Lawrence, Ruth; Zagier, Don (1999), "Modular forms and quantum invariants of 3-manifolds", The Asian Journal of Mathematics, 3 (1): 93–107, doi:10.4310/AJM.1999.v3.n1.a5, ISSN 1093-6106, MR 1701924
Lerch, M. (1892), "Bemerkungen zur Theorie der elliptischen Funktionen", Jahrbuch uber die Fortschritte der Mathematik, 24: 442–445
McIntosh, Richard J. (2007), "Second order mock theta functions", Canadian Mathematical Bulletin, 50 (2): 284–290, doi:10.4153/CMB-2007-028-9, ISSN 0008-4395, MR 2317449, S2CID 119499438, archived from the original on 2012-12-09
Ramanujan, Srinivasa (1988), The lost notebook and other unpublished papers, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-18726-4, MR 0947735
Ramanujan, Srinivasa (2000), "Collected papers of Srinivasa Ramanujan", Nature, Providence, R.I., 123 (3104): 631, Bibcode:1929Natur.123..631L, doi:10.1038/123631a0, ISBN 978-0-8218-2076-6, MR 2280843, S2CID 44812911
Selberg, A. (1938), "Über die Mock-Thetafunktionen siebenter Ordnung. (On the mock theta functions of seventh order)", Archiv for Mathematik og Naturvidenskab, 41: 3–15 Reprinted in volume I of his collected works.
Semikhatov, A. M.; Taormina, A.; Tipunin, I. Yu (2005), "Higher-level Appell functions, modular transformations, and characters", Communications in Mathematical Physics, 255 (2): 469–512, arXiv:math/0311314, Bibcode:2005CMaPh.255..469S, doi:10.1007/s00220-004-1280-7, ISSN 0010-3616, MR 2129953, S2CID 14466569
Serre, Jean-Pierre; Stark, H. M. (1977), "Modular forms of weight 1/2", Modular functions of one variable, VI (Proc. Second Internat. Conf. , Univ. Bonn, Bonn, 1976), Lecture Notes in Mathematics, vol. 627, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 27–67, doi:10.1007/BFb0065296, ISBN 978-3-540-08530-0, MR 0472707
Troost, J. (2010), "The Non-Compact Elliptic Genus: Mock or Modular", Journal of High Energy Physics, 2010 (6): 104, arXiv:1004.3649, Bibcode:2010JHEP...06..104T, doi:10.1007/JHEP06(2010)104, S2CID 84838021
Watson, G. N. (1936), "The Final Problem: An Account of the Mock Theta Functions", Journal of the London Mathematical Society, 11: 55–80, doi:10.1112/jlms/s1-11.1.55
Watson, G. N. (1937), "The Mock Theta Functions (2)", Proceedings of the London Mathematical Society, s2-42: 274–304, doi:10.1112/plms/s2-42.1.274
Zagier, Don (1975), "Nombres de classes et formes modulaires de poids 3/2", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A et B, 281 (21): Ai, A883–A886, ISSN 0151-0509, MR 0429750
Zagier, Don (2009) [First published 2007], "Ramanujan's mock theta functions and their applications (after Zwegers and Ono-Bringmann)" (PDF), Séminaire Bourbaki. Exp. 986, Astérisque, 326: 143–164, ISSN 0303-1179, MR 2605321
Zwegers, S. P. (2001), "Mock θ-functions and real analytic modular forms" (PDF), q-series with applications to combinatorics, number theory, and physics (Urbana, IL, 2000), Contemp. Math., vol. 291, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 269–277, ISBN 978-0-8218-2746-8, MR 1874536^{^{[پیوند مرده]}}
Zwegers, S. P. (2002), Mock Theta Functions, Utrecht PhD thesis, ISBN 90-393-3155-3
Zwegers, S. P. (2008), Appell–Lerch sums as mock modular forms (PDF)^{^{[پیوند مرده]}}

برای مطالعه بیشتر ویرایش

Ono, Ken (2008), "Mock theta functions, ranks and Maass forms", in Alladi, Krishnaswami (ed.), Surveys in Number Theory, Developments in Mathematics, vol. 17, Springer-Verlag, pp. 119–141, ISBN 978-0-387-78509-7, Zbl 1183.11064

پیوند به بیرون ویرایش

[FOOTNOTEZwegers2001-1] Zwegers 2001.

[FOOTNOTEZwegers2002-2] Zwegers 2002.

[FOOTNOTERamanujan2000Appendix_II-3] ۳٫۰ ^۳٫۱ Ramanujan 2000, Appendix II.

[FOOTNOTERamanujan1988-4] Ramanujan 1988.

[FOOTNOTE12-5] ۵٫۰ ^۵٫۱ 1 & 2.

[۱]

[۲]

[۳]

[۴]

[۵]