کاربرد عملگرهای ساده‌ساز
ویرایش
گاهی از لگاریتم برای ساده کردن شمارش‌های ریاضی استفاده می‌شود. مانند لگاریتم حاصل ضرب که برابر است با مجموع لگاریتم دو عدد:
log
b
(
x
y
)
=
log
b
(
x
)
+
log
b
(
y
)
{\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)\!\,}
زیرا:
b
c
⋅
b
d
=
b
c
+
d
{\displaystyle b^{c}\cdot b^{d}=b^{c+d}\!\,}
log
b
(
x
y
)
=
log
b
(
x
)
−
log
b
(
y
)
{\displaystyle \log _{b}\!\left({\begin{matrix}{\frac {x}{y}}\end{matrix}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)}
زیرا:
b
c
−
d
=
b
c
b
d
{\displaystyle b^{c-d}={\tfrac {b^{c}}{b^{d}}}}
log
b
(
x
d
)
=
d
log
b
(
x
)
{\displaystyle \log _{b}(x^{d})=d\log _{b}(x)\!\,}
زیرا:
(
b
c
)
d
=
b
c
d
{\displaystyle (b^{c})^{d}=b^{cd}\!\,}
log
b
(
x
y
)
=
log
b
(
x
)
y
{\displaystyle \log _{b}\!\left(\!{\sqrt[{y}]{x}}\right)={\begin{matrix}{\frac {\log _{b}(x)}{y}}\end{matrix}}}
زیرا:
x
y
=
x
1
/
y
{\displaystyle {\sqrt[{y}]{x}}=x^{1/y}}
x
log
b
(
y
)
=
y
log
b
(
x
)
{\displaystyle x^{\log _{b}(y)}=y^{\log _{b}(x)}\!\,}
زیرا:
x
log
b
(
y
)
=
b
log
b
(
x
)
log
b
(
y
)
=
b
log
b
(
y
)
log
b
(
x
)
=
y
log
b
(
x
)
{\displaystyle x^{\log _{b}(y)}=b^{\log _{b}(x)\log _{b}(y)}=b^{\log _{b}(y)\log _{b}(x)}=y^{\log _{b}(x)}\!\,}
c
log
b
(
x
)
+
d
log
b
(
y
)
=
log
b
(
x
c
y
d
)
{\displaystyle c\log _{b}(x)+d\log _{b}(y)=\log _{b}(x^{c}y^{d})\!\,}
زیرا:
log
b
(
x
c
y
d
)
=
log
b
(
x
c
)
+
log
b
(
y
d
)
{\displaystyle \log _{b}(x^{c}y^{d})=\log _{b}(x^{c})+\log _{b}(y^{d})\!\,}
که در آن
b
{\displaystyle b}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
اعداد حقیقی بزرگتر از صفر اند و
b
≠
1
{\displaystyle b\neq 1}
c
{\displaystyle c}
d
{\displaystyle d}
اثبات قانون نخست
x
y
=
b
log
b
(
x
)
b
log
b
(
y
)
=
b
log
b
(
x
)
+
log
b
(
y
)
⇒
log
b
(
x
y
)
=
log
b
(
b
log
b
(
x
)
+
log
b
(
y
)
)
=
log
b
(
x
)
+
log
b
(
y
)
{\displaystyle xy=b^{\log _{b}(x)}b^{\log _{b}(y)}=b^{\log _{b}(x)+\log _{b}(y)}\Rightarrow \log _{b}(xy)=\log _{b}(b^{\log _{b}(x)+\log _{b}(y)})=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)}
قانون مربوط به توان‌ها:
x
y
=
(
b
log
b
(
x
)
)
y
=
b
y
log
b
(
x
)
⇒
log
b
(
x
y
)
=
y
log
b
(
x
)
{\displaystyle x^{y}=(b^{\log _{b}(x)})^{y}=b^{y\log _{b}(x)}\Rightarrow \log _{b}(x^{y})=y\log _{b}(x)}
قانون نسبت‌ها:
log
b
(
x
y
)
=
log
b
(
x
y
−
1
)
=
log
b
(
x
)
+
log
b
(
y
−
1
)
=
log
b
(
x
)
−
log
b
(
y
)
{\displaystyle \log _{b}{\bigg (}{\frac {x}{y}}{\bigg )}=\log _{b}(xy^{-1})=\log _{b}(x)+\log _{b}(y^{-1})=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)}
قانون ریشه‌ها مانند قانون توان‌ها اثبات می‌شود:
log
b
(
x
y
)
=
log
b
(
x
1
y
)
=
1
y
log
b
(
x
)
{\displaystyle \log _{b}({\sqrt[{y}]{x}})=\log _{b}(x^{\frac {1}{y}})={\frac {1}{y}}\log _{b}(x)}
اتحادهای بدیهی
ویرایش
log
b
(
1
)
=
0
{\displaystyle \log _{b}(1)=0\!\,}
زیرا:
b
0
=
1
{\displaystyle b^{0}=1\!\,}
log
b
(
b
)
=
1
{\displaystyle \log _{b}(b)=1\!\,}
زیرا:
b
1
=
b
{\displaystyle b^{1}=b\!\,}
هشدار:
log
b
(
0
)
{\displaystyle \log _{b}(0)\!\,}
x
{\displaystyle x\!\,}
b
x
=
0
{\displaystyle b^{x}=0\!\,}
log
b
(
x
)
{\displaystyle \log _{b}(x)\!\,}
مجانب قائم داریم.
توان‌های خنثی کننده
ویرایش
تابع‌های لگاریتمی و نمایی در صورتی که هر دو در یک پایه باشند می‌توانند یکدیگر را خنثی کنند. این به این دلیل است که دو تابع وارون یکدیگرند. (درست مانند ضرب و تقسیم یا جمع و تفریق که عملگرهای وارون اند)
b
log
b
(
x
)
=
x
because
antilog
b
(
log
b
(
x
)
)
=
x
{\displaystyle b^{\log _{b}(x)}=x{\text{ because }}\operatorname {antilog} _{b}(\log _{b}(x))=x\,}
log
b
(
b
x
)
=
x
because
log
b
(
antilog
b
(
x
)
)
=
x
{\displaystyle \log _{b}(b^{x})=x{\text{ because }}\log _{b}(\operatorname {antilog} _{b}(x))=x\,}
بسیاری از ماشین حساب‌ها تنها می‌توانند لگاریتم طبیعی و اعشاری را حساب کنند برای همین اگر بخواهیم لگاریتم در دیگر پایه‌ها را بدست آوریم باید از اتحاد زیر استفاده کنیم:
log
b
a
=
log
d
a
log
d
b
{\displaystyle \log _{b}a={\log _{d}a \over \log _{d}b}}
فرض کنید که
c
=
log
b
a
{\displaystyle c=\log _{b}a}
b
c
=
a
{\displaystyle b^{c}=a}
d لگاریتم می‌گیریم:
log
d
b
c
=
log
d
a
{\displaystyle \log _{d}b^{c}=\log _{d}a}
پس از ساده‌سازی خواهیم داشت:
c
log
d
b
=
log
d
a
{\displaystyle c\log _{d}b=\log _{d}a}
آنگاه
c
=
log
d
a
log
d
b
{\displaystyle c={\frac {\log _{d}a}{\log _{d}b}}}
از آنجایی که
c
=
log
b
a
{\displaystyle c=\log _{b}a}
log
b
a
=
log
d
a
log
d
b
{\displaystyle \log _{b}a={\frac {\log _{d}a}{\log _{d}b}}}
نتایج بدست آمده از اتحاد بالا عبارتند از:
log
b
a
=
1
log
a
b
{\displaystyle \log _{b}a={\frac {1}{\log _{a}b}}}
log
b
n
a
=
log
b
a
n
{\displaystyle \log _{b^{n}}a={{\log _{b}a} \over n}}
b
log
a
d
=
d
log
a
b
{\displaystyle b^{\log _{a}d}=d^{\log _{a}b}}
−
log
b
a
=
log
b
(
1
a
)
=
log
1
b
a
{\displaystyle -\log _{b}a=\log _{b}\left({1 \over a}\right)=\log _{1 \over b}a}
log
b
1
a
1
⋯
log
b
n
a
n
=
log
b
π
(
1
)
a
1
⋯
log
b
π
(
n
)
a
n
,
{\displaystyle \log _{b_{1}}a_{1}\,\cdots \,\log _{b_{n}}a_{n}=\log _{b_{\pi (1)}}a_{1}\,\cdots \,\log _{b_{\pi (n)}}a_{n},\,}
که در آن
π
{\displaystyle \scriptstyle \pi \,}
جایگشت زیرنویس ۱ تا n است مانند:
log
b
w
⋅
log
a
x
⋅
log
d
c
⋅
log
d
z
=
log
d
w
⋅
log
b
x
⋅
log
a
c
⋅
log
d
z
.
{\displaystyle \log _{b}w\cdot \log _{a}x\cdot \log _{d}c\cdot \log _{d}z=\log _{d}w\cdot \log _{b}x\cdot \log _{a}c\cdot \log _{d}z.\,}
جمع و تفریق در لگاریتم‌ها در نظریه‌های احتمالاتی کاربرد دارند:
log
b
(
a
+
c
)
=
log
b
a
+
log
b
(
1
+
b
log
b
c
−
log
b
a
)
{\displaystyle \log _{b}(a+c)=\log _{b}a+\log _{b}(1+b^{\log _{b}c-\log _{b}a})}
log
b
(
a
−
c
)
=
log
b
a
+
log
b
(
1
−
b
log
b
c
−
log
b
a
)
{\displaystyle \log _{b}(a-c)=\log _{b}a+\log _{b}(1-b^{\log _{b}c-\log _{b}a})}
که در حالت ویژه می‌دهد:
log
b
(
a
+
c
)
=
log
b
a
+
log
b
(
1
+
c
a
)
{\displaystyle \log _{b}(a+c)=\log _{b}a+\log _{b}\left(1+{\frac {c}{a}}\right)}
log
b
(
a
−
c
)
=
log
b
a
+
log
b
(
1
−
c
a
)
{\displaystyle \log _{b}(a-c)=\log _{b}a+\log _{b}\left(1-{\frac {c}{a}}\right)}
![{\displaystyle \log _{b}\!\left(\!{\sqrt[{y}]{x}}\right)={\begin{matrix}{\frac {\log _{b}(x)}{y}}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fa4327beb2984c4f0548bee011606d7588db706)
![{\displaystyle {\sqrt[{y}]{x}}=x^{1/y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3ac55954aa0ab68281337cdf011c7e92b309446)
![{\displaystyle \log _{b}({\sqrt[{y}]{x}})=\log _{b}(x^{\frac {1}{y}})={\frac {1}{y}}\log _{b}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d3eba91cc156e4939f7136dc81d43c2f391e449)
