لگاریتم طبیعی

لگاریتم طبیعی یک عدد لگاریتمی است با پایهٔ ثابت ریاضیاتی e که e عدد گنگ و غیر جبری تقریباً برابر 2.718281828459 است. لگاریتم طبیعی x به‌طور کلی به صورت ln x، log_e x یا گاهی، اگر پایه e به صورت التزامی باشد، به سادگی log x نوشته می‌شود. لگاریتم طبیعی را می‌توان برای همهٔ اعداد حقیقی مثبت x به صورت ناحیهٔ زیر منحنی y = 1/t از ۱ تا x تعریف نمود. همچنین آن را برای اعداد مختلط غیر صفر می‌توان تعریف کرد. تابع لگاریتم طبیعی همچنین می‌تواند به عنوان تابع معکوس تابع نمایی تعریف شود، که منجر به تابع همانی می‌شود.

نمودار تابع لگاریتم به مبنای عدد نپر یا همان لگاریتم طبیعی

$e^{\ln(x)}=x\qquad {\mbox{if }}x>0\,\!$

$\ln(e^{x})=x\,\!$

به بیان دیگر تابع لگاریتم یک نگاشت دو سویی است از مجموعه اعداد حقیقی مثبت به مجموعه همه اعداد حقیقی. دقیق‌تر این است که یک ایزومورفیسم (یکریختی) از یک گروه از اعداد حقیقی مثبت تحت عمل ضرب به گروهی از اعداد حقیقی تحت عمل جمع است.

قراردادهای نوشتاری

ریاضیدانان عموماً هر دوی(log(x یا(ln (x را به معنای(log(x یعنی لگاریتم طبیعی x بکار می‌برند و می‌نویسند«log₁₀(x)»، اگر پایه 10 لگاریتم x خواسته شده باشد، گرچه اغلب در ایالات متحده(log(x و یا(log (xy بدون پایه‌ای مشخص بکار می‌رود، به معنای«log₁₀(x)». ـ مهندسین زیست‌شناسان و برخی دیگر فقط ln(x) می‌نویسند (یا بعضی اوقات ) زمانی که لگاریتم طبیعی x را می‌خواهند و به کار می‌برند “(log(x «برای (به معنی) »log₁₀(x)«. یاًlog₂(x)».

ـ در بیشتر اوقات، زبان‌های برنامه‌نویسی که متداولاً استفاده می‌شود cft , c و فرترن و بیسیک منظور از log یا LOG، لگاریتم طبیعی است.

ـ در ماشین‌حساب‌های دستی، لگاریتم طبیعی مشخص شده‌است با ln در حالیکه منظور از log، پایه 10 لگاریتم است.

دلایل طبیعی بودن

اصولاً به نظر می‌آید که در جهان پایه 10 برای تقریباً همه‌جا و محاسبات، استفاده می‌شود، این پایه بیشتر خواسته می‌شود، نسبت به پایه e. به دو دلیل ما(ln(x را طبیعی می‌نامیم. اول: تعبیر اینکه متغیرهای ناشناخته‌ای که ظاهر می‌شود به عنوان توانی از e، بیشتر وجود دارند نسبت به توان‌ها 10، و دوم: لگاریتم طبیعی نسبتاً آسانتر از یک انتگرال ساده یا سری تیلور می‌تواند تعریف شود. چیز یکه در مورد لگاریتم‌های دیگر درست نیست، بنابراین لگاریتم طبیعی مفیدتر است در ادامه عیناً دیده خواهد شد در تمرینات. مسئله از مشتق گرفتن یک تابع لگاریتمی را ملاحظه کنید.

${\frac {d}{dx}}\log _{b}(x)={\frac {\log _{b}e}{x}}$

اگر پایهٔ b مساوی با e باشد مشتق 1/x و در 1=x شیب نمودار 1 است.

دلایل دیگر برای طبیعی بودن لگاریتم طبیعی وجود دارد. تعداد زیادی از سری‌های ساده وجود دارند که شامل لگاریتم‌های طبیعی‌اند و این اغلب در طبیعت رخ می‌دهد، در حقیقت نیکولاس هرکاتر، توصیف‌کننده آن‌ها به عنوان طبیعت‌گیرای log تا قبل از حساب دیفرانسیل انتگرال تصور شده‌است.

تعاریف

(ln(x صریحاً ممکن است به عنوان ناحیهٔ زیر نمودار (انتگرال) 1/x از 1 تا a تعریف شود و آن این است

$\ln(a)=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.$

این تعریف یک لگاریتم است چون خاصیت بنیادی لگاریتم را ایفا می‌کند

$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)\,\!$

این رابطه با جایگذاری $t={\tfrac {x}{a}}$ چنان که در زیر آمده، می‌تواند اثبات شود

$\ln(ab)=\int _{1}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{a}^{ab}{\frac {1}{x}}\;dx=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\;dx\;+\int _{1}^{b}{\frac {1}{t}}\;dt=\ln(a)+\ln(b)$

رقم e می‌تواند یک عدد حقیقی یکتا a تعریف شود، به‌طوری‌که 1=(ln(a متناوباً: اگر یک تابع نمایی تعریف شده باشد نخست یک سری نامتناهی استفاده می‌شود. لگاریتم طبیعی ممکن است به عنوان تابع معکوس آن تعریف شود؛ یعنی (ln(x تابعی است که $e^{\ln(x)}=x\!$. از این رو برد توابع نمایی در مباحث حقیقی، تمام اعداد حقیقی مثبت است. و از این رو تابع نمایی اکیداً صعودی است. این یک مشخصه برای همه اعداد مثبت x است.

مشتق، سری تیلور و مباحث مختلط

مشتق لگاریتم‌های طبیعی به وسیلهٔ

${\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}.\,$

گرفته می‌شود، این به سری تیلور منتهی می‌شود.

$\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots \quad {\rm {for}}\quad \left|x\right|\leq 1\quad {\rm {unless}}\quad x=-1,$

که همچنین سهمی مرکاتور نامیده می‌شود. با جانشینی 1-x برای x ما شکل متناوبی برای(ln(x بدست می‌آوریم. یعنی

$\ln(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}(x-1)^{n}=x-1-{\frac {(x-1)^{2}}{2}}+{\frac {(x-1)^{3}}{3}}-{\frac {(x-1)^{4}}{4}}\cdots$

${\rm {for}}\quad \left|x-1\right|\leq 1\quad {\rm {unless}}\quad x=0.$

انتگرال‌گیری لگاریتم طبیعی

لگاریتم طبیعی انتگرال ساده می‌پذیرد از توابع به فرمg(x) = f '(x)/f(x):، یک ضد مشتق از(g(x با ln(|f(x)|).نشان داده می‌شود این عمل به علت قاعده زنجیری و دلایل به شرح زیر یک قضیه‌است.

$\ {d \over dx}\left(\ln \left|x\right|\right)={1 \over x}.$

به بیان دیگر :$\int {dx \over x}=\ln |x|+C$ و

$\int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx}=\ln |f(x)|+C.$

در اینجا مثالی است در رابطه با (g(x) = tan(x:

$\int \tan(x)\,dx=\int {\sin(x) \over \cos(x)}\,dx$

$\int \tan(x)\,dx=\int {-{d \over dx}\cos(x) \over {\cos(x)}}\,dx.$

با جایگذاری (f(x) = cos(x) و (f'(x)= - sin(x داریم

$\int \tan(x)\,dx=-\ln {\left|\cos(x)\right|}+C$

$\int \tan(x)\,dx=\ln {\left|\sec(x)\right|}+C$

که c ثابت دلخواه انتگرال‌گیری است. لگاریتم طبیعی با انتگرال‌گیری به روش جزء به جزء می‌تواند انتگرال‌گیری شود.

$\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.$

ارزش عددی

برای محاسبه ارزش عددی لگاریتم طبیعی از یک عدد، با سری تیلور می‌تواند بازنویسی شود به صورت زیر:

$\ln(1+x)=x\,\left({\frac {1}{1}}-x\,\left({\frac {1}{2}}-x\,\left({\frac {1}{3}}-x\,\left({\frac {1}{4}}-x\,\left({\frac {1}{5}}-\ldots \right)\right)\right)\right)\right)\quad {\rm {for}}\quad \left|x\right|<1.\,\!$

برای بدست آوردن یک روش بهتر از همگیرایی، همانی زیر می‌تواند استفاده شود.

$\ln(x)=\ln \left({\frac {1+y}{1-y}}\right)$	$=2\,y\,\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{3}}y^{2}+{\frac {1}{5}}y^{4}+{\frac {1}{7}}y^{6}+{\frac {1}{9}}y^{8}+\ldots \right)$
	$=2\,y\,\left({\frac {1}{1}}+y^{2}\,\left({\frac {1}{3}}+y^{2}\,\left({\frac {1}{5}}+y^{2}\,\left({\frac {1}{7}}+y^{2}\,\left({\frac {1}{9}}+\ldots \right)\right)\right)\right)\right)$

در صورتی که y = (x−1)/(x+1) و x > 0.

در حالی که برای(ln(x که مقدار x نزدیک به 1 است، سریع‌ترین روش همگیرایی، همانی وابسته شده به لگاریتم برای استخراج کردن می‌تواند به کار برود.

$\ln(123.456)\!$	$=\ln(1.23456\times 10^{2})\,\!$
	$=\ln(1.23456)+\ln(10^{2})\,\!$
	$=\ln(1.23456)+2\times \ln(10)\,\!$
	$\approx \ln(1.23456)+2\times 2.3025851\,\!$

همچنین تکنیک‌هایی که قبل از ماشین‌حساب استفاده می‌شدند با استناد به جدول‌های عددی و انجام‌دهنده‌های دستی چنان که در بالا آمده‌اند، کاربرد داشتند.

دقت بالا

برای حساب کردن دقیق لگاریتم طبیعی با ارقام زیاد، سری تیلور به نظر کارآمد نمی‌آید. از آنجا که همگرایی کند است، روش تناوبی با استفاده از روش نیوتن است و برای معکوس کردن تابع نمایی، به‌طوری‌که سری به سرعت همگرا می‌شود. فرمول زیر یک روش تناوبی با دقت بالا در محاسبات است.

$\ln x\approx {\frac {\pi }{2M\left(1,{\frac {4}{s}}\right)}}-m\log 2$

که M میانگین هندسی است و

$s=x\,2^{m}>2^{\frac {p}{2}},$

با M انتخاب شده چنانکه p است از دقت بدست آمده، در حقیقت اگر این روش استفاده شود، وارون‌سازی نیوتن از لگاریتم طبیعی ممکن است به‌طور معکوس استفاده شود، برای محاسبه توابع نمایی به‌طور کارآمد. (ثابت‌های ln 2 وπ می‌توانند از پیش محاسبه شوند به اینکه دقت بکار رفته برای سری، به سرعت همگرا شود.

اشتباه در محاسبه پیچیده

اشتباه در محاسبهٔ پیچیده از محاسبه لگاریتم طبیعی (استفاده از حساب ـ میانگین هندسی)،(O(M(x)ln است. در اینجا n یک عدد از ارقام با معنی است که لگاریتم طبیعی سنجیده می‌شود و(M(x یک محاسبه پیچیده از ضرب دو عدد n رقمی است.

لگاریتم‌های مختلط

تابع نمایی می‌تواند به تابعی که اعداد مختلط مانند e^x برای هر عدد مختلط دلخواهی می‌گیرند گسترش یابد. سری نامتناهی با x مختلط استفاده می‌شود. این تابع نمایی می‌تواند معکوس شود به فرم یک لگاریتم مختلط که نماش خیلی از خواص عمومی لگاریتم‌هاست. دو درگیری سخت وجود دارد: هیچ x ای وجود ندارد کe^x = 0ه و این e^2πi = 1 = e⁰ را تولید می‌کند. زمانی که خاصیت افزاینده هنوز کاری نمی‌کند برای یک تابع نمایی مختلط e^z = e^z+2nπi، برای هر z مختلط و تابع اولیه x. بنابراین لگاریتم نمی‌تواند تعریف شود برای تمام صفحه مختلط پس چه مقداری است. هر لگاریتم مختلط به معادله لگاریتمی می‌تواند تغییر کند؛ با افزودن 2πiبه‌طور دلخواه. لگاریتم مختلط تنها می‌تواند تک مقداری باشد؛ در یک صفحهٔ بریده شده. برای مثالln i = 1/2 πi یا 5/2 πi یا −3/2 πi و غیره. همچنین:

i⁴ = 1, 4 log i

می‌تواند تعریف شود:

2πi یا 10πi or −6 πi, و غیره.

منابع

• Carl B. Boyer, A history of mathematics, 2nd edition, by John Wiley & Sons, Inc., page 312, 1991

جستارهای وابسته

• لگاریتم