قضیه ویلسون

قضیه ویلسون (به انگلیسی: Wilson's theorem) قضیهای در نظریه اعداد است که توسط ریاضیدان انگلیسی جان ویلسون مطرح شده است. این قضیه بیان می‌کند به ازای هر عدد اول مانند داریم

تعمیم قضیه ویلسونویرایش

۱_تعمیم گاوس:کارل فریدریش گاوس ریاضیدان آلمانی در سال ۱۸۰۰ میلادی ثابت کرده که برای هر عدد طبیعی m>۲ عدد اول p

 

در اینجا   عددی صحیح و مثبت است.

مثالویرایش

 

 

 

 

 

اثباتویرایش

برهان اولویرایش

چون   اول است، پس به ازای هر عدد   که   ،عدد منحصر به فرد   وجود دارد که   و در ضمن   و  . پس می‌توان اعداد   را به زوج‌هایی افراز کرد که حاصلضرب دو عدد هر زوج(جفت) به پیمانه   برابر با   شود. پس

 

کاربرد هاویرایش

تعیین اول بودن عددویرایش

در عمل این الگوریتم برای تعیین اول بودن عدد نا کار آمد است. زیرا محاسبه   برای n های بزرگ پیچیدگی محاسباتی دارد و الگوریتم های سریع تری مثل آزمون تقسیم برای این کار وجود دارد.

با اعمال قضیه ویلسون بر تمام اعداد اول فرد p = 2m + 1 و مرتب کردن اعداد رابطه  

به رابطه ی زیر می رسیم

 

و

 

در نتیجه

 

یا

 

و با استفاده از این رابطه ی آخری می توان ثابت کرد که (1-) برای هر عدد اول فیثاغورسی (به عبارتی اعداد اولی که p ≡ 1 (mod 4) باشند) باقی مانده درجه دو quadratic residue به پیمانه p است.(یعنی ) فرض کنید p = 4k + 1 است m را برابر  2k می گیریم سپس با با توجه به رابطه ذکر شده نتیجه می گیریم که   به پیمانه p همنهشت با 1- است.

منابعویرایش

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Wilson's theorem». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.